Darslar 13–14 · 2 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Haydarov (geometriya). Matematika 10-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. MChJ «EXTREMUM PRESS», Toshkent, 2017
13
Tenglamalarni taqribiy yechish
Darslik, 1-qism: 74–76-betlar
MaqsadKo‘phad ildizi yotgan oraliqni ishora o‘zgarishi bilan topish va oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuli bilan ildizni berilgan aniqlikda hisoblash.
Yangi so‘zlar
taqribiy yechim · approximate solutionoraliqni teng ikkiga bo‘lish · bisectionaniqlik · accuracyildiz yotgan oraliq · interval containing a root
Tushuntirish
Ko‘pchilik tenglamalarning ildizini aniq formula bilan topib bo‘lmaydi, shuning uchun uni taqribiy hisoblashadi. Asosiy fakt: f(x) ko‘phad [a; b] kesma uchlarida har xil ishorali qiymatlar qabul qilsa, ya’ni f(a) · f(b) < 0 bo‘lsa, kesma ichida f(x) = 0 ning kamida bitta ildizi bor (grafik x o‘qini kesib o‘tadi). Aksincha emas: f(a) · f(b) > 0 bo‘lsa ham ildiz bo‘lishi mumkin (juft marta takrorlangan ildiz). Teng ikkiga bo‘lish (bisection) usulida bitta ildizi bor [a; b] kesma o‘rtasi m = (a + b)/2 olinadi va f(m) hisoblanadi; f(a) · f(m) < 0 bo‘lsa ildiz [a; m] da, aks holda [m; b] da. Har qadamda kesma uzunligi ikki marta kamayadi; b − a < ε bo‘lganda to‘xtaladi va kesma o‘rtasi ε aniqlikdagi taqribiy ildiz sifatida olinadi.
Namunalar
f(x) = x³ + x − 3. f(1) = −1 < 0, f(2) = 7 > 0, demak, (1; 2) da ildiz bor. O‘rta 1,5: f(1,5) = 1,875 > 0 ⇒ ildiz (1; 1,5) da. O‘rta 1,25: f(1,25) ≈ 0,203 > 0 ⇒ (1; 1,25). O‘rta 1,125: f(1,125) ≈ −0,451 < 0 ⇒ (1,125; 1,25). Uzunlik 0,125, ildiz ≈ 1,2.
f(x) = x² − 2x + 1 uchun f(0) = 1 va f(2) = 1, ko‘paytma musbat, ammo x = 1 ildiz (ikki karrali). Shuning uchun f(a) · f(b) > 0 ildiz yo‘qligini bildirmaydi; faqat f(a) · f(b) < 0 ildiz borligini kafolatlaydi.
Sinfda faoliyat
Juftlikda «Qaysi tomonda?» o‘yini: bir o‘quvchi 1 dan 100 gacha son o‘ylaydi, ikkinchisi taxmin qiladi va faqat «kattaroq» yoki «kichikroq» javob oladi. Eng tez usul — har safar oraliq o‘rtasini aytish; shu bisection usuliga o‘xshashligini muhokama qiling.
Mashq
1
f(x) ko‘phad uchun [a; b] da ildiz borligini qaysi shart kafolatlaydi?
f(a) · f(b) < 0 (uchlarda qiymatlar ishorasi har xil).
2
f(x) = x³ + 2x − 5 uchun f(1) · f(2) ni hisoblang.
-14
3
f(x) = x³ + 2x − 5 ning [1; 2] dagi ildizini bisection usulida bir qadam torayting: f(1,5) ni hisoblab, yangi oraliqni ayting.