Уроки 20–21 · 2 урока · Б. Хайдаров, Э. Сариков, А. Кучкоров. Геометрия, 9 класс (учебник для общеобразовательных школ), переработанное 4-е издание. Издательство «Huquq va Jamiyat», Ташкент, 2019
21
Построение подобных многоугольников
Учебник: с. 64–65
ЦельЗнайте шаги построения многоугольника, подобного данному, с помощью гомотетии и обосновывайте его.
Чтобы построить подобный многоугольник, выберите на плоскости любую точку O и проведите из O лучи через все вершины данного многоугольника. На каждом луче отложите OA₁ = k·OA, OB₁ = k·OB и так далее (при k < 1 многоугольник уменьшается). Соединив новые вершины по порядку, получим подобный многоугольник. Обоснование: треугольники OAD и OA₁D₁ подобны, поэтому соответственные стороны находятся в отношении k; соответственные углы тоже равны. Точка O может лежать вне многоугольника, внутри него, в вершине или на стороне; все получающиеся многоугольники равны. Построение выполняется циркулем и линейкой или на клетчатой бумаге.
Примеры
Проведите лучи из O через вершины треугольника ABC и отложите OA₁ = 2·OA, OB₁ = 2·OB, OC₁ = 2·OC; тогда A₁B₁C₁ ∽ ABC с k = 2.
Для квадрата при k = 1/2 и точке O в одной из вершин новый квадрат имеет вдвое меньшую сторону и общий угол при этой вершине.
Работа в классе
«Увеличение по клеткам»: нарисуйте на клетчатой бумаге простую фигуру (домик или рыбку), выберите центр и увеличьте её с k = 2.
Упражнения
1
Четырёхугольник, подобный ABCD с k = 3, построен из центра O. Если OA = 4 см, то чему равна OA₁ (в см)?
12
2
Периметр четырёхугольника равен 14 см. Чему равен периметр подобного ему, построенного с k = 3 (в см)?
42
3
Во сколько раз уменьшается площадь при k = 0,5?
в 4 раза
4
Почему центр гомотетии можно выбирать где угодно?
Изменение центра лишь сдвигает фигуру; получающиеся многоугольники равны.