☰ Содержание · Математика

Правильные рассуждения и решение задач

Уроки 6–7 · 2 урока · М. А. Мирзаахмедов, Ш. Н. Исмаилов, А. К. Аманов (алгебра и начала анализа), Б. К. Хайдаров (геометрия). Математика, 10 класс, части 1 и 2, 1-е издание. EXTREMUM PRESS, Ташкент, 2017
7

Решение задач: множества и логика

Учебник, часть 1: с. 38–47
ЦельРешать задачи о двух и трёх множествах с помощью диаграмм Венна и формулы сложения и вычитания; переводить текстовые рассуждения на язык логики.
Новые слова
диаграмма Венна · Venn diagrammasiпересечение · kesishmaчисло элементов · elementlar soniлогическая форма · mantiqiy shakl
Объяснение

Задачу о множествах начинайте с диаграммы Венна: назовите каждую область (только A, и A, и B, только B, ни одно) и запишите уравнения по данным. Для двух множеств n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), а число элементов, не входящих ни в одно множество, равно n(U) − n(A ∪ B). Для трёх множеств n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C); область «только A» равна n(A) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C). Удобно сначала заполнить самую внутреннюю область — элементы, входящие во все три множества. Чтобы решить текстовое рассуждение, сначала обозначьте простые высказывания p, q, r, запишите логическую форму, а затем проверьте её по таблице истинности или по известной форме (modus ponens, modus tollens и другие).

Примеры
Из 32 учеников 20 любят шахматы, 15 любят плавание, а 6 не любят ни то, ни другое. Любят хотя бы одно: 32 − 6 = 26. Любят оба: 20 + 15 − 26 = 9.
60 учеников: 30 в математическом кружке, 25 в физическом, 20 в химическом; 10 в математическом и физическом, 8 в математическом и химическом, 6 в физическом и химическом, 3 во всех трёх. Объединение: 30 + 25 + 20 − 10 − 8 − 6 + 3 = 54, значит, 60 − 54 = 6 не посещают ни одного кружка. Только математика: 30 − 10 − 8 + 3 = 15.
Работа в классе

Опрос в классе: каждый ученик отвечает на три вопроса «да/нет» (например, велосипед, футбол, шахматы). Данные наносятся на диаграмму Венна, и находится число учеников в каждой из восьми областей.

Упражнения
1
Запишите формулу числа элементов в объединении трёх множеств.
2
n(U) = 45, n(A) = 20, n(B) = 18, n(A ∩ B) = 7. Сколько элементов не входят ни в A, ни в B?
3
Каждый из 45 посетителей библиотеки взял художественную или научную книгу; 31 взял художественную и 22 взяли научную. Сколько взяли книги обоих видов?
4
«Если автобус опаздывает, Нодира опаздывает на урок. Нодира не опоздала. Значит, автобус не опоздал». Запишите форму и обоснуйте правильность вывода.