☰ Содержание · Математика

Высказывания и логические операции

Уроки 2–3 · 2 урока · М. А. Мирзаахмедов, Ш. Н. Исмаилов, А. К. Аманов (алгебра и начала анализа), Б. К. Хайдаров (геометрия). Математика, 10 класс, части 1 и 2, 1-е издание. EXTREMUM PRESS, Ташкент, 2017
3

Логическая равносильность и законы логики

Учебник, часть 1: с. 21–23
ЦельСтроить таблицу истинности составного высказывания; доказывать тавтологию и логическую равносильность с помощью таблицы; пользоваться законами для ¬(p ∧ q) и ¬(p ∨ q).
Новые слова
таблица истинности · rostlik jadvaliтавтология · tavtologiyaзакон логики · mantiqiy qonunлогически равносильны · mantiqiy tengkuchli
Объяснение

Таблицу истинности составного высказывания строим по шагам: сначала выписываем все пары значений p и q (ИИ, ИЛ, ЛИ, ЛЛ), затем заполняем столбец каждой части и, наконец, столбец всего выражения. Два высказывания дают 4 строки, три высказывания — 2 · 2 · 2 = 8 строк. Высказывание, истинное в каждой строке, называется тавтологией, или законом логики; например, p ∨ ¬p всегда истинно. Если последние столбцы двух таблиц совпадают, высказывания логически равносильны, что записывают p ≡ q (или p ⇔ q). Две главные равносильности: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q и ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q: отрицание «оба» — это «хотя бы один не», а отрицание «хотя бы один» — это «ни один».

Примеры
Сравним ¬(p ∨ q) и ¬p ∧ ¬q. Для строк (p, q) = ИИ, ИЛ, ЛИ, ЛЛ значение p ∨ q равно И, И, И, Л, поэтому ¬(p ∨ q) равно Л, Л, Л, И. Для ¬p ∧ ¬q: ¬p = Л, Л, И, И и ¬q = Л, И, Л, И, а их конъюнкция равна Л, Л, Л, И. Столбцы совпадают, значит, высказывания равносильны.
Отрицание высказывания «x > 2 и x < 5» — «x ≤ 2 или x ≥ 5» (¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q). Отрицание высказывания «x < −1 или x > 4» — «x ≥ −1 и x ≤ 4», то есть −1 ≤ x ≤ 4 (¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q).
Работа в классе

В парах: один ученик произносит высказывание («Я правша и знаю английский»), другой называет его отрицание с помощью «или», и вместе они проверяют равносильность по таблице.

Упражнения
1
Что такое тавтология? Приведите пример.
2
Является ли p ∧ ¬p тавтологией? Ответьте по строкам таблицы.
3
Сколько строк в таблице истинности трёх высказываний p, q, r?
4
Почему отрицание «оба истинны» равно «хотя бы одно ложно»? Объясните с помощью ¬(p ∧ q).