☰ Содержание · Математика

Прямые, плоскости и сечения в пространстве

Уроки 22–23 · 2 урока · М. А. Мирзаахмедов, Ш. Н. Исмаилов, А. К. Аманов (алгебра и начала анализа), Б. К. Хайдаров (геометрия). Математика, 10 класс, части 1 и 2, 1-е издание. EXTREMUM PRESS, Ташкент, 2017
23

Многогранники и построение их простейших сечений

Учебник, часть 1: с. 131–134
ЦельУметь изображать призму и пирамиду и строить сечение многогранника плоскостью с помощью следов.
Новые слова
сечение · kesimсекущая плоскость · kesuvchi tekislikслед · izбоковое ребро · yasovchi qirra
Объяснение

Чтобы изобразить призму, сначала рисуем одно основание в виде многоугольника, затем из каждой вершины проводим равные параллельные отрезки и соединяем их концы; невидимые рёбра изображаем штриховыми линиями. Для пирамиды рисуем основание, отмечаем вершину и соединяем её с каждой вершиной основания. Сечение многогранника — фигура, образованная точками многогранника, лежащими в секущей плоскости; это многоугольник, стороны которого — отрезки в гранях. Чтобы построить его, находим две общие точки секущей плоскости с каждой гранью: соединив их, получаем сторону сечения в этой грани (след). Если две такие точки не лежат в одной грани, продолжаем прямую, лежащую в грани, до пересечения с прямой секущей плоскости и используем точку пересечения. Число сторон сечения не превосходит числа граней многогранника.

Примеры
Треугольная пирамида QABC с точками K ∈ QA, L ∈ QB, M ∈ QC. Проведём KL, LM и KM: каждая пара лежит в одной грани (QAB, QBC, QAC), поэтому сечение — треугольник KLM.
Плоскость через вершины A, C и B₁ куба: AC лежит в нижней грани, CB₁ — в боковой грани, а AB₁ — в передней грани. Три стороны лежат в трёх гранях, поэтому сечение — треугольник ACB₁; его стороны — диагонали граней, значит, они равны (a√2).
Работа в классе

Нарисуйте в тетради куб, отметьте точки на трёх рёбрах и постройте сечение. Сравните свой рисунок с невидимыми рёбрами, изображёнными штрихами, с рисунком соседа.

Упражнения
1
Как появляется второе основание при изображении призмы?
2
Сколько граней у куба? Какое наибольшее число сторон может иметь сечение куба?
3
Найдите число граней пятиугольной призмы.
4
Почему число сторон сечения не превосходит числа граней?