☰ Mundarija · Matematika

Taqribiy hisoblashlar va modellashtirish

Darslar 10–11 · 2 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
11

Hosila yordamida modellashtirish

Darslik, 1-qism: 62–72-betlar
MaqsadO‘zgarish tezligi funksiyaning o‘ziga proporsional bo‘lgan jarayonlarni (ko‘payish, so‘nish, sovish) y′ = ky differensial tenglama bilan modellashtirish.
Yangi so‘zlar
differensial tenglama · differential equationboshlang‘ich shart · initial conditionyarim yemirilish davri · half-lifeproporsionallik koeffitsiyenti · proportionality coefficient
Tushuntirish

Hosila qatnashgan tenglama differensial tenglama deyiladi; uning yechimi — tenglamaga qo‘yganda tenglikni to‘g‘ri qiladigan funksiya. Jarayonning o‘zgarish tezligi shu kattalikning o‘ziga proporsional bo‘lsa (bakteriyalar ko‘payishi, radioaktiv yemirilish), y′ = ky tenglama hosil bo‘ladi va uning yechimi y = y₀eᵏᵗ, bunda y₀ = y(0) boshlang‘ich shart. k > 0 da o‘sish, k < 0 da so‘nish ro‘y beradi; yarim yemirilish davri T bo‘lsa, y = y₀ · 2^(−t/T). Sovish jarayonida jism haroratining o‘zgarish tezligi jism va muhit haroratlari farqiga proporsional: T′ = −k(T − T_muhit), yechimi T = T_muhit + Ce^(−kt) ko‘rinishida (k > 0). Modelni tuzishda masala shartini «tezlik ~ miqdor» ko‘rinishiga keltirish, proporsionallik koeffitsiyentini bitta ma’lumotdan topish va keyin so‘ralgan paytdagi qiymatni hisoblash kerak. Model faqat idealizatsiya: resurslar cheklangan bo‘lsa, o‘sish eksponensial davom etmaydi.

Namunalar
Bakteriyalar soni N′ = kN qonuniga bo‘ysunadi, N(0) = 500, har 3 soatda ikki barobar ko‘payadi. N(t) = 500 · 2^(t/3). 9 soatdan so‘ng N(9) = 500 · 2³ = 4000. Tekshiruv: N = 500e^(kt), e^(3k) = 2 ⇒ k = (ln 2)/3 ≈ 0,23 soat⁻¹.
y = 3e^(2t) funksiya y′ = 2y tenglamani qanoatlantiradi: y′ = 3 · 2e^(2t) = 6e^(2t) = 2y. Radioaktiv modda: massa 80 g, yarim yemirilish davri 5 sutka; 15 sutkadan so‘ng m = 80 · 2^(−15/5) = 80/8 = 10 g.
Sinfda faoliyat

«Model — haqiqatmi?»: guruhlar «bakteriyalar eksponensial ko‘payadi» modelini muhokama qiladi: 24 soatdan so‘ng nechta bo‘lishi kerak? Bu real emasligini ko‘rsatadigan sabablarni (oziq, joy) yozadi va model qayerda ishlashini aytadi.

Mashq
1
y = 5e^(3t) funksiya y′ = 3y tenglamani qanoatlantirishini tekshiring.
2
Aholi soni 2000, har 4 yilda ikki barobar o‘sadi deb faraz qiling. 12 yildan so‘ng taxminiy son nechta?
3
160 mg moddaning yarim yemirilish davri 6 soat. 18 soatdan so‘ng necha mg qoladi?
4
Nima uchun tezligi miqdorning o‘ziga proporsional bo‘lgan jarayon chiziqli emas, eksponensial o‘sadi?