☰ Mundarija · Matematika

Urinma va normal tenglamalari. Masalalar yechish

Darslar 6–7 · 2 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
7

Masalalar yechish (hosila)

Darslik, 1-qism: 39–41-betlar
MaqsadHosilaga oid aralash masalalarni (orttirma, hosila qiymati, tezlik, urinma, o‘sish ishorasi) bosqichma-bosqich yechish.
Yangi so‘zlar
funksiya orttirmasi · increment of a functiononiy tezlik · instantaneous velocityhosilaning ishorasi · sign of the derivativeto‘xtash nuqtasi · point of momentary rest
Tushuntirish

Hosilaga oid masalalarni yechishda quyidagi ketma-ketlik qo‘l keladi: 1) masala nimani so‘rayotganini aniqlang (orttirma, hosila qiymati, tezlik, urinma, ishora); 2) funksiyani yozib, kerakli qoidalar bilan hosilasini toping; 3) nuqta qiymatini qo‘ying yoki f′(x) = 0 / f′(x) > 0 ni yeching; 4) javobni masala tilida, o‘lchov birligi bilan yozing. Harakatda s(t) yo‘l bo‘lsa, v(t) = s′(t); v = 0 bo‘lgan paytda nuqta bir lahza to‘xtaydi, v ning ishorasi o‘zgarsa, harakat yo‘nalishi ham o‘zgaradi. Orttirmani hisoblashda f(x₀ + Δx) − f(x₀) ni to‘g‘ridan-to‘g‘ri hisoblang va f′(x₀) · Δx bilan taqqoslang: Δx kichik bo‘lsa, ikkalasi yaqin bo‘ladi. Hosilaning ishorasini tekshirishda ko‘paytuvchilarga ajrating va oraliqlar usulidan foydalaning.

Namunalar
s(t) = t³ − 6t² + 9t (m). v(t) = 3t² − 12t + 9 = 3(t − 1)(t − 3). v = 0 da t = 1 s va t = 3 s. 1 < t < 3 da v < 0 — nuqta orqaga qaytadi, t < 1 va t > 3 da oldinga harakatlanadi. Demak, t = 1 va t = 3 da harakat yo‘nalishi o‘zgaradi.
f(x) = x² − 3x + 1, x₀ = 2, Δx = 0,1. f(2,1) = 4,41 − 6,3 + 1 = −0,89; f(2) = −1; orttirma Δf = 0,11; Δf/Δx = 1,1. Hosila f′(2) = 2 · 2 − 3 = 1. Nisbat 1,1 hosila qiymati 1 ga yaqin, Δx kamaysa yanada yaqinlashadi.
Sinfda faoliyat

«Masala tilidan hosila tiliga»: o‘qituvchi so‘zli masalalarni o‘qiydi («tezlik», «o‘sish tezligi», «grafikka urinma», «qachon to‘xtaydi»). Har bir iborani sinf doskada «hosila yoki hosila bilan bog‘liq shart» ko‘rinishida yozib chiqadi.

Mashq
1
f(x) = 2x² + x uchun x₀ = 1 va Δx = 0,2 da funksiya orttirmasini toping.
2
f(x) = x³ − 12x ning hosilasi musbat bo‘ladigan x qiymatlarini toping.
3
Nuqta s(t) = t² − 8t + 3 (m) qonun bilan harakatlanadi. Qaysi paytda (s) uning tezligi nolga teng?
4
Yuqoridagi harakatda t = 4 s da nuqta to‘xtab qolganmi? Tezlik ishorasi bilan tushuntiring.