Darslar 34–35 · 2 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
35
Ehtimolliklarni qo‘shish va ko‘paytirish. Hodisalarning ehtimolligini hisoblash usullari
Darslik, 2-qism: 83–90-betlar
MaqsadEhtimolliklarni qo‘shish, shartli ehtimollik va ko‘paytirish qoidalarini ehtimollik masalalarida qo‘llashni o‘rganish.
Qo‘shish qoidasi: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); birgalikda bo‘lmagan hodisalarda oxirgi had nolga teng. B ro‘y berganligi ma’lum bo‘lgandagi A ning ehtimolligi shartli ehtimollik: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B). Bundan ko‘paytirish formulasi P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B). Agar P(A|B) = P(A) bo‘lsa, A va B bog‘liq emas va P(AB) = P(A) · P(B); bunda A va B̄, Ā va B̄ ham bog‘liq emas. Idishdan qaytarmasdan olishda har bir keyingi ehtimollik oldingi natijaga bog‘liq: masalan, P(ikkalasi ham oq) = (5/8) · (4/7). Mustaqil hodisalardan hech bo‘lmaganda bittasi ro‘y berishi: P = 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…(1 − pₙ). Birgalikda bo‘lmaslik bilan bog‘liq bo‘lmaslikni aralashtirmang: ikkita musbat ehtimolli bog‘liq bo‘lmagan hodisa ham birga ro‘y berishi mumkin.
Namunalar
Sinfdagi o‘quvchilarning 40 % i suzishga, 30 % i shaxmatga qatnashadi, 12 % i ikkalasiga. Kamida bittasiga qatnashish: P = 0,4 + 0,3 − 0,12 = 0,58. P(suzish | shaxmat) = 0,12/0,3 = 0,4 = P(suzish), demak bu hodisalar bog‘liq emas. Qopda 5 oq va 3 qora shar; qaytarmasdan ikkita olinadi: P(ikkalasi oq) = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 5/14.
Ikki o‘quvchi masalani bir-biridan mustaqil yechadi; yechish ehtimolliklari 0,7 va 0,6. Ikkalasi yechishi: 0,7 · 0,6 = 0,42. Aynan bittasi yechishi: 0,7 · 0,4 + 0,3 · 0,6 = 0,28 + 0,18 = 0,46. Hech bo‘lmaganda bittasi: 1 − 0,3 · 0,4 = 0,88.
Sinfda faoliyat
«Qaytarib va qaytarmay»: qopga 3 ta qizil va 2 ta ko‘k qalam soling. Ikkita qalamni (a) qaytarib, (b) qaytarmay 30 martadan olib, ikkalasi qizil chiqish chastotasini yozing va nazariy ehtimolliklar bilan (3/5)² = 9/25 hamda 3/5 · 2/4 = 3/10 solishtiring.
Mashq
1
A va B bog‘liq emas, P(A) = 0,3, P(B) = 0,5. P(AB) ni toping.
0,15
2
A va B birgalikda emas, P(A) = 0,4, P(B) = 0,3. P(A ∪ B) ni toping.
0,7
3
Idishda 6 qizil va 4 yashil shar. Qaytarmasdan ikkita olinadi. Ikkalasi yashil bo‘lish ehtimolligi?
2/15
4
Nima uchun musbat ehtimolli bog‘liq bo‘lmagan hodisalar birgalikda emas bo‘la olmaydi?
Bog‘liq bo‘lmaganda P(AB) = P(A)P(B) > 0, ya’ni ular birga ro‘y berishi mumkin. Birgalikda bo‘lmagan hodisalar uchun esa P(AB) = 0.