☰ Mundarija · Matematika

Implikatsiya, predikatlar va kvantorlar

Darslar 4–5 · 2 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Haydarov (geometriya). Matematika 10-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. MChJ «EXTREMUM PRESS», Toshkent, 2017
5

Predikatlar va kvantorlar

Darslik, 1-qism: 29–32-betlar
MaqsadPredikatni aniqlash; ∀ va ∃ kvantorli mulohazalarning rost-yolg‘onligini tekshirish va ularning inkorini tuzish.
Yangi so‘zlar
predikat · predicateumumiylik kvantori ∀ · universal quantifier ∀mavjudlik kvantori ∃ · existential quantifier ∃qarshi misol · counterexample
Tushuntirish

O‘zgaruvchi qatnashgan va o‘zgaruvchi o‘rniga aniq qiymat qo‘yilganda mulohazaga aylanadigan gap predikat deyiladi, masalan, P(x): x² > x; bir nechta o‘zgaruvchi bo‘lsa P(x, y) yoziladi. ∀xP(x) mulohaza «barcha x lar uchun P(x)» ma’nosini, ∃xP(x) esa «shunday x mavjudki, P(x)» ma’nosini bildiradi; ∀ — umumiylik kvantori, ∃ — mavjudlik kvantori. ∀xP(x) ni inkor qilish uchun P(x) yolg‘on bo‘ladigan bitta x — qarshi misol topish yetarli; ∃xP(x) ni isbotlash uchun bitta mos x ni ko‘rsatish yetarli. Inkor qonunlari: ¬∀xP(x) ≡ ∃x¬P(x) va ¬∃xP(x) ≡ ∀x¬P(x). Ikki o‘zgaruvchili predikatda kvantorlar tartibi muhim: ∀x∃yP(x, y) va ∃y∀xP(x, y) tengkuchli emas.

Namunalar
P(x): x² − 6x + 8 = 0 predikati {1, 2, 3, 4} to‘plamda: x = 2 va x = 4 uchun rost (4 − 12 + 8 = 0 va 16 − 24 + 8 = 0), x = 1 uchun yolg‘on (1 − 6 + 8 = 3). Demak, ∃xP(x) rost, ∀xP(x) yolg‘on, qarshi misol x = 1.
«Sinfdagi har bir o‘quvchi futbolni yoqtiradi» ning inkori ¬∀xP(x) ≡ ∃x¬P(x) bo‘yicha: «futbolni yoqtirmaydigan o‘quvchi bor». Ikki o‘zgaruvchi: ∀x∈R ∃y∈R, y > x rost (y = x + 1 olinadi), lekin ∃y∈R ∀x∈R, y > x yolg‘on (y = x qiymatida shart buziladi, ya’ni eng katta son yo‘q).
Sinfda faoliyat

Sinfda «Hamma … , ba’zilar …» o‘yini: bir guruh ∀ yoki ∃ bilan boshlanadigan gap aytadi («Sinfdagi hamma o‘quvchining velosipedi bor»), qolganlar rost-yolg‘onligini tekshirish uchun bitta o‘quvchini so‘rab qarshi misol qidiradi.

Mashq
1
∀xP(x) mulohazani yolg‘on deb ko‘rsatish uchun nima qilish kerak?
2
P(x): x² − 5x + 6 = 0 predikat {1, 2, 3, 4} da berilgan. x ning qaysi qiymatlari uchun u rost? ∀ va ∃ mulohazalarining qiymatlarini ayting.
3
«∃x∈R: x² < 0» mulohazaning inkorini yozing va ikkalasidan qaysi biri rost ekanini ayting.
4
Nima uchun ∀x∃y (y > x) va ∃y∀x (y > x) tengkuchli emas?