Уроки 4–5 · 2 урока · М. А. Мирзаахмедов, Ш. Н. Исмаилов, А. К. Аманов (алгебра и начала анализа), Б. К. Хайдаров (геометрия). Математика, 10 класс, части 1 и 2, 1-е издание. EXTREMUM PRESS, Ташкент, 2017
5
Предикаты и кванторы
Учебник, часть 1: с. 29–32
ЦельРаспознавать предикат; проверять истинность высказываний с ∀ и ∃ и составлять их отрицания.
Новые слова
предикат · predikatквантор всеобщности ∀ · umumiylik kvantori ∀квантор существования ∃ · mavjudlik kvantori ∃контрпример · qarshi misol
Объяснение
Предложение с переменной, которое становится высказыванием при подстановке конкретного значения, называется предикатом, например P(x): x² > x; при нескольких переменных пишем P(x, y). Высказывание ∀xP(x) означает «для всех x выполняется P(x)», а ∃xP(x) — «существует x, для которого P(x)»; ∀ — квантор всеобщности, ∃ — квантор существования. Чтобы опровергнуть ∀xP(x), достаточно найти один x, при котором P(x) ложно, — контрпример; чтобы доказать ∃xP(x), достаточно указать один подходящий x. Законы отрицания: ¬∀xP(x) ≡ ∃x¬P(x) и ¬∃xP(x) ≡ ∀x¬P(x). При двух переменных важен порядок кванторов: ∀x∃yP(x, y) и ∃y∀xP(x, y) не равносильны.
Примеры
Предикат P(x): x² − 6x + 8 = 0 на множестве {1, 2, 3, 4}: он истинен при x = 2 и x = 4 (4 − 12 + 8 = 0 и 16 − 24 + 8 = 0) и ложен при x = 1 (1 − 6 + 8 = 3). Значит, ∃xP(x) истинно, ∀xP(x) ложно, а x = 1 — контрпример.
Отрицание высказывания «каждый ученик класса любит футбол» по закону ¬∀xP(x) ≡ ∃x¬P(x) — «есть ученик, который не любит футбол». Две переменные: ∀x∈R ∃y∈R, y > x истинно (возьмём y = x + 1), а ∃y∈R ∀x∈R, y > x ложно (не выполняется при x = y, потому что наибольшего числа нет).
Работа в классе
Игра в классе «Все … , некоторые …»: одна группа произносит предложение, начинающееся с ∀ или ∃ («каждый ученик класса имеет велосипед»), а остальные ищут контрпример, опрашивая отдельных учеников.
Упражнения
1
Что нужно сделать, чтобы показать, что ∀xP(x) ложно?
Достаточно найти одно значение — контрпример, — при котором P(x) ложно.
2
Предикат P(x): x² − 5x + 6 = 0 задан на {1, 2, 3, 4}. При каких x он истинен? Укажите значения высказываний с ∀ и ∃.
x = 2 и x = 3 (x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)); ∃xP(x) истинно, ∀xP(x) ложно.
3
Запишите отрицание высказывания «∃x∈R: x² < 0» и скажите, какое из двух истинно.