☰ Mundarija · Matematika

Kompleks sonning trigonometrik shakli

Darslar 39–40 · 2 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Haydarov (geometriya). Matematika 10-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. MChJ «EXTREMUM PRESS», Toshkent, 2017
40

Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarning ko‘paytmasi va bo‘linmasi

Darslik, 2-qism: 81–83-betlar
MaqsadTrigonometrik shakldagi kompleks sonlarni ko‘paytirish, bo‘lish va Muavr formulasi bilan darajaga ko‘tarish.
Yangi so‘zlar
ko‘paytma · productbo‘linma · quotientMuavr formulasi · De Moivre’s formulaargumentlar yig‘indisi · sum of arguments
Tushuntirish

z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) va z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂) bo‘lsa, ko‘paytma z₁z₂ = r₁r₂[cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂)]: modullar ko‘paytiriladi, argumentlar qo‘shiladi. Bo‘linma z₁/z₂ = (r₁/r₂)[cos(φ₁ − φ₂) + i sin(φ₁ − φ₂)]: modullar bo‘linadi, argumentlar ayriladi. Bu qoidalar sinus va kosinus uchun qo‘shish formulalaridan kelib chiqadi. Shuning uchun z = r(cos φ + i sin φ) ni n marta o‘ziga ko‘paytirsak, Muavr formulasi hosil bo‘ladi: zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ), n ∈ ℕ. Yuqori darajali hisoblarda (masalan, (1 + i)¹⁰) algebraik shaklda ko‘paytirishdan ko‘ra avval trigonometrik shaklga o‘tgan qulay. Argument 2π dan oshib ketsa, 2π ga karrali qismini tashlab yuboramiz.

Namunalar
z₁ = 2(cos 40° + i sin 40°), z₂ = 3(cos 20° + i sin 20°). z₁z₂ = 6(cos 60° + i sin 60°) = 6(1/2 + (√3/2)i) = 3 + 3√3 i.
(1 + i)⁸: 1 + i = √2(cos 45° + i sin 45°). Muavr: (√2)⁸(cos 360° + i sin 360°) = 16 · 1 = 16.
Sinfda faoliyat

Juftlikda z = 1 + i ni ketma-ket kvadratga ko‘tarib ((1 + i)², (1 + i)⁴, (1 + i)⁸) algebraik yo‘l bilan hisoblang va Muavr formulasi natijasi (16) bilan solishtiring.

Mashq
1
Trigonometrik shakldagi ikki kompleks son ko‘paytmasining moduli va argumenti nima bo‘ladi?
2
4(cos 100° + i sin 100°) ni 2(cos 40° + i sin 40°) ga bo‘ling. Natijaning modulini yozing.
3
(cos 15° + i sin 15°)⁶ ni hisoblang.
4
Nima uchun (cos φ + i sin φ)ⁿ ning moduli har doim 1?