40
Произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме
Учебник, часть 2: с. 81–83
ЦельУмножать и делить комплексные числа в тригонометрической форме и возводить их в степень по формуле Муавра.
Новые слова
произведение · ko‘paytmaчастное · bo‘linmaформула Муавра · Muavr formulasiсумма аргументов · argumentlar yig‘indisi
Объяснение
Если z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) и z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂), то произведение z₁z₂ = r₁r₂[cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂)]: модули перемножаются, а аргументы складываются. Частное z₁/z₂ = (r₁/r₂)[cos(φ₁ − φ₂) + i sin(φ₁ − φ₂)]: модули делятся, а аргументы вычитаются. Эти правила следуют из формул сложения для синуса и косинуса. Умножение z = r(cos φ + i sin φ) на себя n раз даёт формулу Муавра: zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ), n ∈ ℕ. Для высоких степеней (например, (1 + i)¹⁰) проще сначала перейти к тригонометрической форме, чем умножать в алгебраической. Если аргумент превышает 2π, отбрасываем кратное 2π.
Примеры
z₁ = 2(cos 40° + i sin 40°), z₂ = 3(cos 20° + i sin 20°). z₁z₂ = 6(cos 60° + i sin 60°) = 6(1/2 + (√3/2)i) = 3 + 3√3 i.
(1 + i)⁸: 1 + i = √2(cos 45° + i sin 45°). По формуле Муавра: (√2)⁸(cos 360° + i sin 360°) = 16 · 1 = 16.
Работа в классе
В парах вычислите (1 + i)², (1 + i)⁴, (1 + i)⁸ последовательно алгебраическим способом и сравните с результатом по формуле Муавра (16).
Упражнения
1
Каковы модуль и аргумент произведения двух чисел в тригонометрической форме?
Произведение модулей и сумма аргументов.
2
Разделите 4(cos 100° + i sin 100°) на 2(cos 40° + i sin 40°). Укажите модуль результата.
2
3
Вычислите (cos 15° + i sin 15°)⁶.
i
4
Почему (cos φ + i sin φ)ⁿ всегда имеет модуль 1?
По формуле Муавра модуль равен 1ⁿ = 1; равносильно, cos² nφ + sin² nφ = 1.