7
Подобные треугольники и их свойства
Учебник: с. 30–31
ЦельЗнайте теоремы об отношении периметров, площадей и высот подобных треугольников и применяйте их.
Новые слова
отношение периметров · perimetrlar nisbatiотношение площадей · yuzlar nisbatik в квадрате · k²соответственные высоты · mos balandliklar
Объяснение
Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия k, так как каждая сторона умножается на k. Отношение их площадей равно k²: S₁ : S = k². Отношение соответственных высот (а также медиан, биссектрис) тоже равно k. Доказательство сравнивает площади треугольников с общим углом через произведения их сторон. Например, если k = 3, периметр увеличивается в 3 раза, а площадь в 9 раз. В обратной задаче для нахождения k извлекают квадратный корень из отношения площадей.
Примеры
Стороны треугольника равны 5, 12, 13 см (площадь 30 см²). Подобный ему треугольник с k = 2 имеет периметр 2 · 30 = 60 см и площадь 4 · 30 = 120 см².
Площади подобных треугольников равны 18 см² и 50 см². Отношение площадей равно 25/9, поэтому k = 5/3. Сторона, соответствующая стороне 6 см первого треугольника, равна 6 · 5/3 = 10 см.
Работа в классе
«k и k²»: каждая группа заполняет таблицу нового периметра и площади для k = 2 и k = 3 для своего треугольника, а затем по таблице находит закономерность.
Упражнения
1
Периметры двух подобных треугольников равны 24 см и 36 см. Площадь меньшего равна 20 см². Чему равна площадь большего (в см²)? (k = 3/2)
45
2
Площади подобных треугольников равны 16 см² и 49 см². Найдите отношение их сторон.
4 : 7
3
Если k = 5, то во сколько раз увеличивается площадь?
25
4
Почему отношение площадей равно k², а не k?
Площадь двумерна: основание и высота увеличиваются в k раз каждое, поэтому площадь увеличивается в k·k раз.