☰ Содержание · Геометрия

Окружности, вписанные в правильные многоугольники и описанные около них

Уроки 39–40 · 2 урока · Б. Хайдаров, Э. Сариков, А. Кучкоров. Геометрия, 9 класс (учебник для общеобразовательных школ), переработанное 4-е издание. Издательство «Huquq va Jamiyat», Ташкент, 2019
40

Как сторона правильного многоугольника связана с радиусами описанной и вписанной окружностей

Учебник: с. 112–113
ЦельЗнайте формулы, связывающие сторону a правильного n-угольника с радиусами R и r (R = a/(2sin(180°/n)), r = a/(2tg(180°/n))), и применяйте их к треугольнику, квадрату и шестиугольнику.
Новые слова
радиус описанной окружности R · tashqi aylana radiusi Rрадиус вписанной окружности r · ichki aylana radiusi rсторона n-угольника · n burchakning tomoni180°/n · 180°/n
Объяснение

Пусть O — центр правильного n-угольника, а C — середина стороны AB. В прямоугольном треугольнике ACO ∠AOC = 180°/n и AC = a/2, поэтому R = OA = a/(2·sin(180°/n)) и r = OC = a/(2·tg(180°/n)) = R·cos(180°/n). Обратно, a = 2R·sin(180°/n) = 2r·tg(180°/n). Треугольник (n = 3): R = a/√3, r = a/(2√3), R = 2r. Квадрат (n = 4): R = a/√2, r = a/2, R = r√2. Шестиугольник (n = 6): R = a, r = a√3/2. По этим формулам сторона правильного многоугольника, вписанного в окружность, находится через R: у вписанного квадрата сторона R√2, у треугольника R√3, у шестиугольника R.

Примеры
При a = 10: у квадрата R = 10/√2 = 5√2 и r = 5; у шестиугольника R = 10 и r = 5√3.
Вписанные в окружность с R = 8: сторона треугольника равна 8√3, квадрата 8√2, шестиугольника 8.
Работа в классе

«Тройка формул»: заполните таблицу соотношений a, R, r для треугольника, квадрата и шестиугольника и сравните отношения R : r (2, √2, 2/√3).

Упражнения
1
Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 6?
2
Чему равна сторона квадрата, вписанного в окружность радиуса 6?
3
Чему равен радиус вписанной окружности правильного шестиугольника со стороной 6?
4
Почему в правильном шестиугольнике R = a?