33
Решение задач
Учебник: с. 96–97
ЦельРешайте смешанные задачи о треугольниках и параллелограммах (сумма квадратов диагоналей, медиана, высота) с помощью тригонометрических теорем.
Новые слова
диагонали параллелограмма · parallelogramm diagonallariмедиана · medianaвысота · balandlikсумма · yig‘indisi
Объяснение
В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон: d₁² + d₂² = 2(a² + b²). Это следует из применения теоремы косинусов к двум соседним треугольникам и равенства cos(180° − α) = −cosα. Если площадь треугольника найдена по формуле Герона, то высота к любой стороне равна h = 2S/a. Длина медианы к стороне a равна m = ½√(2b² + 2c² − a²). В трудной задаче сначала найдите площадь или вспомогательную сторону, а затем искомую величину. Проверьте результат подстановкой.
Примеры
У параллелограмма стороны 5 и 7, а одна диагональ 8: квадрат другой равен 2(25 + 49) − 64 = 84, поэтому d₂ = 2√21.
В треугольнике со сторонами 7, 15, 20 (S = 42 по формуле Герона) высота к стороне 7 равна h = 2·42/7 = 12.
Работа в классе
«Выбери формулу»: для каждой задачи на карточке быстро скажите, какая формула подходит (Герона, медианы, диагоналей, теорема косинусов), а затем решите.
Упражнения
1
В треугольнике со сторонами 6, 8, 10 чему равна медиана к стороне 10?
5
2
У параллелограмма стороны 3 и 4. Чему равна сумма квадратов его диагоналей?
50
3
В треугольнике со сторонами 5, 5, 6 чему равна высота к основанию 6?
4
4
Почему медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна её половине?
По формуле m = ½√(2a² + 2b² − c²) и равенству c² = a² + b² получаем m = c/2.