31
Ikki vektor orasidagi burchak va ularning skalar ko‘paytmasi
Darslik: 90–93-betlar
MaqsadIkki vektor orasidagi burchak va skalar ko‘paytma tushunchalarini bilish; koordinatalarda skalar ko‘paytma, vektor uzunligi va orasidagi burchak kosinusini hisoblash.
Yangi so‘zlar
skalar ko‘paytma · dot (scalar) productvektorlar orasidagi burchak · angle between vectorsperpendikulyar vektorlar · perpendicular vectorsvektor uzunligi · length (magnitude) of a vector
Tushuntirish
Nol bo‘lmagan a va b vektorlarni bir nuqtadan qo‘ysak, hosil bo‘lgan burchak φ ularning orasidagi burchak deyiladi. Ularning skalar ko‘paytmasi a·b = |a|·|b|·cosφ — bu son (vektor emas). Agar a·b = 0 bo‘lsa, vektorlar perpendikulyar, chunki cos90° = 0. Koordinatalarda a(a₁; a₂) va b(b₁; b₂) uchun a·b = a₁b₁ + a₂b₂, vektor uzunligi |a| = √(a₁² + a₂²), va orasidagi burchak cosφ = (a₁b₁ + a₂b₂)/(|a|·|b|). Xossalar: a·b = b·a; (a + b)·c = a·c + b·c; a·a = |a|². Fizikada F kuch jismni s siljitganda bajarilgan ish A = F·s = |F|·|s|·cosφ.
Namunalar
a(3; 4) va b(4; −3): a·b = 3·4 + 4·(−3) = 0, demak a ⊥ b.
a(2; 0), b(1; 1): a·b = 2, |a| = 2, |b| = √2, cosφ = 2/(2√2) = √2/2, φ = 45°.
Sinfda faoliyat
«Perpendikulyarmi?»: doskada vektor juftliklari yoziladi; o‘quvchilar skalar ko‘paytmani hisoblab, perpendikulyar bo‘lgan juftlikni topadi va koordinata tekisligida chizib tekshiradi.
Mashq
1
|a| = 6, |b| = 7, orasidagi burchak 60°. a·b necha?
21
2
a(−1; 3) va b(2; 5). a·b necha?
13
3
x ning qanday qiymatida a(2; x) va b(3; 6) perpendikulyar?
-1
4
Nima uchun a·a = |a|²?
Vektor o‘zi bilan 0° burchak hosil qiladi, cos0° = 1, shuning uchun a·a = |a|·|a|·1.