☰ Mundarija · Geometriya

Kosinuslar teoremasi

Darslar 29 · 1 ta dars · B. Xaydarov, E. Sariqov, A. Qo‘chqorov. Geometriya, 9-sinf (umumiy o‘rta ta’lim maktablari uchun darslik), to‘ldirilgan va qayta ishlangan 4-nashr. «Huquq va Jamiyat» nashriyoti, Toshkent, 2019
29

Kosinuslar teoremasi

Darslik: 86–87-betlar
MaqsadKosinuslar teoremasini bilish, uni uchinchi tomonni va burchak kosinusini topishda qo‘llash; Pifagor teoremasining umumlashmasi ekanini tushunish.
Yangi so‘zlar
kosinuslar teoremasi · law of cosinesumumlashma · generalisationtomon kvadrati · square of a sideburchak kosinusi · cosine of the angle
Tushuntirish

Kosinuslar teoremasi: uchburchak istalgan tomonining kvadrati qolgan ikki tomon kvadratlari yig‘indisidan shu tomonlar ko‘paytmasining ikkilangani bilan ular orasidagi burchak kosinusi ko‘paytmasi ayirmasiga teng: a² = b² + c² − 2bc·cosA. Isboti balandlik tushirib, ikki marta Pifagor teoremasini qo‘llashga asoslanadi. Agar ∠A = 90° bo‘lsa, cos90° = 0 va teorema Pifagor teoremasiga aylanadi. O‘tmas burchakda cosA manfiy, shuning uchun a² katta bo‘ladi. Tomonlar berilganda burchak cosA = (b² + c² − a²)/(2bc) formula bilan topiladi. Ikki tomon va ular orasidagi burchak (TBT) yoki uch tomon (TTT) berilganda teorema ishlaydi.

Namunalar
b = 9, c = 4, ∠A = 60°: a² = 81 + 16 − 2·9·4·½ = 97 − 36 = 61, a = √61.
Tomonlari 4, 7, 9. 9 qarshisidagi burchak: cos = (16 + 49 − 81)/(2·4·7) = −16/56 = −2/7 < 0, demak bu burchak o‘tmas.
Sinfda faoliyat

«Tomonni top»: har bir juft ikki tomon va ular orasidagi burchak (60°, 90°, 120°) tanlab, uchinchi tomon kvadratini hisoblaydi; so‘ng 90° da Pifagor bilan solishtiradi.

Mashq
1
b = 3, c = 5, ∠A = 120°. a² nechaga teng?
2
b = 4, c = 4, ∠A = 90°. a² nechaga teng?
3
Tomonlari 4, 5, 6 bo‘lgan uchburchakda 6 qarshisidagi burchak kosinusi?
4
Nima uchun o‘tmas burchak qarshisidagi tomon kvadrati qolgan ikki tomon kvadratlari yig‘indisidan katta?