Геометрия 9 класс, 16 неделя, урок 27: Площадь треугольника через синус угла

Задачи с тригонометрией и площадью треугольника

Уроки 26–27 · 2 урока · Б. Хайдаров, Э. Сариков, А. Кучкоров. Геометрия, 9 класс (учебник для общеобразовательных школ), переработанное 4-е издание. Издательство «Huquq va Jamiyat», Ташкент, 2019

Площадь треугольника через синус угла

Учебник: с. 82–83

ЦельВычисляйте площадь треугольника, параллелограмма и четырёхугольника через синус угла.

Новые слова

две стороны и угол между ними · ikki tomon va orasidagi burchakугол между диагоналями · diagonallar orasidagi burchakплощадь через синус · sinus bilan yuzвысота · balandlik

Объяснение

Теорема 1: площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними: S = ½·ab·sinC. Доказательство: высота равна h = a·sinC, а S = ½·b·h. Аналогично S = ½·bc·sinA = ½·ac·sinB. Площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними: S = ab·sinα. Теорема 2: площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними: S = ½·d₁·d₂·sinφ. Формула верна и для тупых углов, так как sin(180° − α) = sinα. Эти формулы удобны, когда высота неизвестна.

Примеры

△ABC: AB = 10, AC = 6, ∠A = 30°. S = ½·10·6·sin30° = ½·10·6·½ = 15.

У параллелограмма стороны 8 и 5 и угол 150°: S = 8·5·sin150° = 40·½ = 20. У четырёхугольника с диагоналями 10 и 12 и углом 30° между ними: S = ½·10·12·½ = 30.

Работа в классе

«Площадь двумя способами»: для треугольника со сторонами 6 и 8 и углом 90° между ними вычислите площадь по простой формуле и по формуле с синусом и проверьте, что результаты совпадают.

Упражнения

Две стороны треугольника равны 10 и 14, угол между ними 30°. Чему равна площадь?

Площадь треугольника равна 18, AC = 9 и ∠A = 150°. Чему равна AB?

У параллелограмма стороны 4 и 6 и угол 120°. Чему равна его площадь?

Почему формула с синусом при угле 90° превращается в S = ½ab?