☰ Содержание · Геометрия

Подобие фигур; свойства подобных многоугольников

Уроки 18–19 · 2 урока · Б. Хайдаров, Э. Сариков, А. Кучкоров. Геометрия, 9 класс (учебник для общеобразовательных школ), переработанное 4-е издание. Издательство «Huquq va Jamiyat», Ташкент, 2019
19

Свойства подобных многоугольников

Учебник: с. 60–61
ЦельЗнайте и применяйте свойства подобных многоугольников (отношение периметров k, отношение площадей k², разбиение на одинаковое число подобных треугольников).
Новые слова
отношение периметров · perimetrlar nisbatiотношение площадей · yuzlar nisbatiдиагональ · diagonalразбиение на подобные треугольники · o‘xshash uchburchaklarga ajratish
Объяснение

Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия k, так как каждая сторона умножается на k: P₁ = k·P. Диагонали, проведённые из одной вершины, разбивают подобные многоугольники на одинаковое число попарно подобных треугольников; это ключевой вспомогательный факт в доказательстве. Отношение площадей каждой пары равно k², поэтому и отношение площадей всех многоугольников равно k²: S₁ = k²·S. В задаче сначала найдите k по периметрам или соответственным сторонам, затем используйте k² для площадей. Треугольник и четырёхугольник никогда не могут быть подобны, так как у них разное число углов.

Примеры
У подобных многоугольников периметры равны 20 и 35: k = 35/20 = 7/4, а отношение площадей равно 49/16.
У подобных многоугольников площади равны 12 и 27: k² = 27/12 = 9/4, поэтому k = 3/2. Сторона, соответствующая стороне 8 см меньшего многоугольника, равна 8 · 3/2 = 12 см.
Работа в классе

«Пять углов»: разделите пятиугольник на 3 треугольника диагоналями из одной вершины; сделайте то же в подобном пятиугольнике и сравните пары треугольников.

Упражнения
1
Периметры подобных многоугольников равны 30 и 45. Если площадь меньшего равна 40, то чему равна площадь большего?
2
Площади подобных многоугольников относятся как 4 : 9, и большая площадь на 35 больше меньшей. Найдите площади.
3
Если k = 1/3, чему равно отношение меньшей площади к большей?
4
Почему треугольник и четырёхугольник никогда не могут быть подобны?