Уроки 8 · 1 урок · Ш. А. Алимов, А. Р. Халмухамедов, М. А. Мирзахмедов. Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных школ. Переработанное 4-е издание. Ташкент: «O‘qituvchi», 2019
8
Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции
Учебник: с. 28–31
ЦельРешать квадратное неравенство с помощью эскиза графика квадратичной функции; различать случаи D > 0, D = 0, D < 0.
Новые слова
эскиз графика · grafikning eskiziточка касания · urinish nuqtasiстрогое и нестрогое неравенство · qat’iy va noqat’iy tengsizlikнаправление ветвей · parabola tarmoqlarining yo‘nalishi
Объяснение
Чтобы решить неравенство ax² + bx + c > 0 или < 0, определяем по графику знак функции y = ax² + bx + c. Порядок действий: 1) знак a показывает направление ветвей; 2) находим действительные корни уравнения ax² + bx + c = 0 или убеждаемся, что их нет; 3) по точкам, в которых парабола пересекает (или касается) Ox, строим эскиз; 4) выбираем часть графика с нужным знаком. Если D > 0, парабола пересекает Ox в двух точках; если D = 0, она касается Ox в одной точке; если D < 0, она не имеет общих точек с Ox и лежит целиком выше неё (a > 0) или ниже (a < 0). Для строгого неравенства (>, <) нули не являются решениями, а для нестрогого (≥, ≤) являются.
Примеры
2x² − 5x − 3 ≤ 0: ветви направлены вверх; D = 25 + 24 = 49, x = (5 ± 7) : 4, значит, x₁ = −1/2, x₂ = 3. Часть параболы на Ox или ниже неё: −1/2 ≤ x ≤ 3.
x² − 6x + 9 = (x − 3)²: ветви направлены вверх, D = 0, и парабола касается Ox в точке (3, 0). Решение неравенства x² − 6x + 9 > 0: x ≠ 3; неравенства ≥ 0: все x; неравенства ≤ 0: только x = 3; неравенства < 0 решений нет. Для −x² + 2x − 5 < 0 имеем D = 4 − 20 < 0 и ветви направлены вниз: парабола лежит ниже Ox, поэтому решение — все действительные числа.
Работа в классе
«Конкурс эскизов»: учитель называет три коэффициента; ученики за одну минуту рисуют эскиз и записывают решения двух неравенств с противоположными знаками. Автор самого точного эскиза ведёт следующий тур.
Упражнения
1
Решите неравенство x² − 7x + 12 < 0.
3 < x < 4
2
Решите неравенство x² + 4x + 4 ≤ 0.
x = −2
3
Решите неравенство x² − 2x + 5 > 0.
все действительные числа
4
Почему неравенство −x² + 2x − 3 < 0 верно при всех x?
Здесь a = −1 < 0 и D = 4 − 12 = −8 < 0: парабола никогда не пересекает Ox и целиком лежит ниже неё.