Уроки 11 · 1 урок · Ш. А. Алимов, А. Р. Халмухамедов, М. А. Мирзахмедов. Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных школ. Переработанное 4-е издание. Ташкент: «O‘qituvchi», 2019
11
Возрастающие и убывающие функции
Учебник: с. 41–45
ЦельЗнать, когда степенная функция y = xʳ возрастает или убывает; доказывать возрастание и убывание по определению.
Новые слова
степенная функция · darajali funksiyaвозрастающая функция · o‘suvchi funksiyaубывающая функция · kamayuvchi funksiyaпоказатель степени · daraja ko‘rsatkichi
Объяснение
Функция вида y = xʳ называется степенной функцией (r — заданное число). При x > 0 она определена при любом r. Если для любых x₁ > x₂ из промежутка выполнено y(x₁) > y(x₂), то функция возрастает на этом промежутке; если y(x₁) < y(x₂), то она убывает. Главное правило: если r > 0, то y = xʳ возрастает при x > 0; если r < 0, то она убывает при x > 0. Это доказывается возведением неравенства x₁ > x₂ > 0 в степень r. Поэтому уравнение xʳ = b (b > 0) имеет при x > 0 ровно один корень x = b^(1/r). Чтобы доказать, что какая-то другая функция возрастает, берём x₁ > x₂ и проверяем знак разности y(x₁) − y(x₂).
Примеры
Сравним 7⁻² и 5⁻²: r = −2 < 0, функция убывает при x > 0, а 7 > 5, поэтому 7⁻² < 5⁻². Проверка: 1/49 < 1/25.
Решим уравнение x^(2/3) = 4 (x > 0). x = 4^(3/2) = (√4)³ = 8. Других корней нет, так как при r = 2/3 > 0 функция возрастает и принимает каждое значение один раз. Проверка: 8^(2/3) = (∛8)² = 4.
Работа в классе
«Вверх или вниз?»: учитель называет функции y = xʳ (r = 3, −1, 1/2, −2/3...). Ученики поднимают руку вверх (возрастает) или вниз (убывает) и должны объяснить причину.
Упражнения
1
Возрастают или убывают при x > 0 функции y = x⁻³, y = x^(1/3), y = x⁷?
x⁻³ убывает; x^(1/3) и x⁷ возрастают
2
Сравните 3^(2/5) и 4^(2/5).
3^(2/5) < 4^(2/5), так как r = 2/5 > 0
3
Решите уравнение x^(3/2) = 27 (x > 0).
9
4
Докажите, что функция y = 2x − 1/x возрастает при x > 0.