Уроки 32 · 1 урок · Ш. А. Алимов, А. Р. Халмухамедов, М. А. Мирзахмедов. Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных школ. Переработанное 4-е издание. Ташкент: «O‘qituvchi», 2019
32
Геометрическая прогрессия
Учебник: с. 162–166
ЦельЗнать определение геометрической прогрессии, её знаменателя и формулу n-го члена; применять их при решении задач.
Новые слова
геометрическая прогрессия · geometrik progressiyaзнаменатель прогрессии · progressiya maxrajiсреднее геометрическое · o‘rta geometrikформула n-го члена · n-had formulasi
Объяснение
Последовательность с первым членом b₁ ≠ 0, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называется геометрической прогрессией: b_(n+1) = b_n · q. Число q — знаменатель прогрессии: q = b_(n+1) : b_n. Например, в последовательности 3, 6, 12, 24, ... q = 2; в 8, 4, 2, 1, ... q = 1/2; в 5, −10, 20, ... q = −2. Чтобы доказать, что последовательность является геометрической прогрессией, показываем, что b_(n+1) : b_n не зависит от n. Формула n-го члена: b_n = b₁ · q^(n−1). В прогрессии, все члены которой положительны, b_n² = b_(n−1) · b_(n+1), то есть каждый член является средним геометрическим соседних: b_n = √(b_(n−1) b_(n+1)); отсюда название. Если даны два члена, их деление даёт степень q.
Примеры
3, 6, 12, ...: q = 2, b₆ = 3 · 2⁵ = 96. Является ли 1458 членом прогрессии 2, 6, 18, ...? 2 · 3^(n−1) = 1458, 3^(n−1) = 729 = 3⁶, значит, n = 7, да.