Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Сумма первых n членов арифметической прогрессии — это S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n. Чтобы найти её, записываем сумму дважды — в порядке возрастания и в обратном порядке — и складываем почленно. В прогрессии a₁ + a_n = a₂ + a_(n−1) = ..., так как шаг вправо прибавляет d, а шаг влево вычитает d. Поэтому 2S_n = (a₁ + a_n) · n, то есть S_n = (a₁ + a_n) : 2 · n. Подставляя a_n = a₁ + (n − 1)d, получаем S_n = (2a₁ + (n − 1)d) : 2 · n. Частный случай: 1 + 2 + ... + n = n(n + 1) : 2. Если число членов n неизвестно, находим его из a_n = a₁ + (n − 1)d. Если нахождение n приводит к квадратному уравнению, выбираем натуральный корень.
«Пары Гаусса»: ученики записывают числа от 1 до 20 парами (1 и 20, 2 и 19, ...); они называют сумму каждой пары и число пар и находят общую сумму.