☰ Содержание · Алгебра

Системы неравенств второй степени

Уроки 16 · 1 урок · Ш. А. Алимов, А. Р. Халмухамедов, М. А. Мирзахмедов. Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных школ. Переработанное 4-е издание. Ташкент: «O‘qituvchi», 2019
16

Системы неравенств второй степени с одним неизвестным

Учебник: с. 77–79
ЦельРешать системы неравенств, содержащие квадратное неравенство, неравенства с модулем и задачи на область определения.
Новые слова
система неравенств · tengsizliklar sistemasiпересечение множеств решений · yechimlar kesishmasiнеравенство с модулем · modulli tengsizlikравносильные неравенства · tengkuchli tengsizliklar
Объяснение

Решением системы неравенств называется любое x, удовлетворяющее всем неравенствам одновременно. Поэтому решаем каждое неравенство отдельно (квадратное — по графику или методом интервалов), отмечаем решения на одной числовой прямой и берём их общую часть. Неравенства с модулем сводятся к системам: при a > 0 неравенство |f(x)| < a равносильно −a < f(x) < a, то есть системе из двух неравенств; неравенство |f(x)| > a равносильно f(x) < −a или f(x) > a. Нахождение области определения тоже даёт систему: каждое выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен равняться нулю. Ответ записываем по общей части на числовой прямой; если общей части нет, система не имеет решений.

Примеры
x² − 4x + 3 > 0 и 2x + 4 ≥ 0. Первое: x < 1 или x > 3. Второе: x ≥ −2. Общая часть: −2 ≤ x < 1 или x > 3.
|x² − 5| < 4 ⇔ −4 < x² − 5 < 4. Это система x² − 1 > 0 (x < −1 или x > 1) и x² − 9 < 0 (−3 < x < 3). Ответ: −3 < x < −1 или 1 < x < 3.
Работа в классе

«Найди общую часть»: двое учеников отмечают решения двух неравенств на одной числовой прямой карандашами разных цветов; часть, закрашенная обоими цветами, — решение системы.

Упражнения
1
Решите систему x² − 9 ≤ 0 и x − 1 > 0.
2
Найдите область определения функции y = √(x² − 5x + 6) + √(4 − x).
3
Решите неравенство |x² − 1| < 3.
4
Почему |f| < a равносильно −a < f < a (a > 0)?