Бесконечно убывающая прогрессия

Геометрическая прогрессия, знаменатель которой по модулю меньше единицы, то есть |q| < 1, называется бесконечно убывающей; её члены приближаются к нулю с ростом n. Если n неограниченно растёт, q^n стремится к нулю, что записывают так: lim q^n = 0 (n → ∞). Поэтому в равенстве S_n = b₁ : (1 − q) − b₁q^n : (1 − q) вторая часть стремится к нулю, а первая от n не зависит. Сумма бесконечно убывающей прогрессии — это предел S_n при n → ∞, и она равна S = b₁ : (1 − q). Эта формула верна только при |q| < 1. Мы используем её и для обращения периодической десятичной дроби в обыкновенную: 0,(7) = 7/10 + 7/100 + ... .