Доказательство простых неравенств

Простейший способ доказать неравенство — определение: чтобы доказать A ≥ B, показываем, что A − B ≥ 0, часто с помощью полного квадрата. Например, a² + b² − 2ab = (a − b)² ≥ 0, поэтому a² + b² ≥ 2ab. Для двух положительных чисел a и b среднее арифметическое равно (a + b) : 2, а среднее геометрическое равно √(ab). Неравенство (a + b) : 2 ≥ √(ab) верно, потому что разность равна (√a − √b)² : 2 ≥ 0; равенство достигается только при a = b. С его помощью можно показать, например, что x + 1/x ≥ 2 при x > 0, и находить наименьшее значение выражений, произведение слагаемых которых постоянно. Другой способ — доказательство от противного: предположим, что неравенство не выполняется, и придём к противоречию (например, квадрат оказывается отрицательным); тогда исходное неравенство верно.