33
Сумма первых n членов геометрической прогрессии
Учебник: с. 167–170
ЦельВывести и использовать формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии.
Новые слова
сумма членов · hadlar yig‘indisiзнаменатель q ≠ 1 · maxraj q ≠ 1формула S_n · S_n formulasiслучай q = 1 · q = 1 holi
Объяснение
Обозначим через S_n сумму первых n членов геометрической прогрессии: S_n = b₁ + b₁q + b₁q² + ... + b₁q^(n−1). Умножив обе части на q, получим qS_n = b₁q + b₁q² + ... + b₁q^n. Вычитая первое равенство из второго, почти все слагаемые сокращаются, и остаётся qS_n − S_n = b₁q^n − b₁. При q ≠ 1 отсюда S_n = b₁(1 − q^n) : (1 − q) = b₁(q^n − 1) : (q − 1). Если q = 1, каждый член равен b₁, поэтому S_n = b₁ · n. Когда известен b_n, сумму можно записать и так: S_n = (b_n · q − b₁) : (q − 1).
Примеры
2 + 6 + 18 + 54 + 162: b₁ = 2, q = 3, n = 5. S₅ = 2 · (3⁵ − 1) : (3 − 1) = 2 · 242 : 2 = 242.
Пусть сумма 1 + 2 + 4 + ... равна 255. Здесь b₁ = 1, q = 2: (2^n − 1) : (2 − 1) = 255, значит, 2^n = 256 = 2⁸ и n = 8.
Работа в классе
«Групповые суммы»: класс делится на три группы; каждая вычисляет S_n для своих b₁, q, n; затем результаты проверяются по таблице.
Упражнения
1
Если b₁ = 4, q = 2, n = 6, найдите S₆.
252
2
Чему равна S_n при q = 1?
S_n = b₁ · n
3
Найдите 1 + 3 + 9 + 27 + 81.
121
4
Почему формулу S_n = b₁(q^n − 1) : (q − 1) нельзя использовать при q = 1?
Знаменатель q − 1 становится равным 0, а делить на нуль нельзя.