5
Функция y = ax² + bx + c
Учебник: с. 14–17
ЦельНаходить вершину и ось симметрии параболы y = ax² + bx + c и связывать график со сдвигами с помощью выделения полного квадрата.
Новые слова
выделение полного квадрата · to‘la kvadratni ajratishпараллельный перенос (сдвиг) · parallel ko‘chirish (siljitish)координаты вершины · parabola uchining koordinatalariуравнение параболы · parabolaning tenglamasi
Объяснение
Любую функцию y = ax² + bx + c можно с помощью выделения полного квадрата записать в виде y = a(x − x₀)² + y₀, где x₀ = −b : (2a) и y₀ = y(x₀). Значит, её график — парабола y = ax², сдвинутая вдоль оси Ox на x₀ (вправо, если x₀ > 0, и влево, если x₀ < 0) и вдоль оси Oy на y₀ (вверх, если y₀ > 0, и вниз, если y₀ < 0). Вершина параболы — точка (x₀, y₀), а осью симметрии является прямая x = x₀, параллельная оси Oy. Ветви направлены вверх при a > 0 и вниз при a < 0. Равенство y = ax² + bx + c называется уравнением параболы.
Примеры
y = x² + 4x + 1: x₀ = −4 : 2 = −2, y₀ = 4 − 8 + 1 = −3. Вершина — точка (−2, −3). С полным квадратом: y = (x + 2)² − 3.
Парабола с вершиной (1, −2), проходящая через точку (3, 6): y = a(x − 1)² − 2, 6 = a · 4 − 2, значит, a = 2. Уравнение: y = 2(x − 1)² − 2 = 2x² − 4x. Проверка: 2 · 9 − 12 = 6.
Работа в классе
«Найди вершину»: учитель раздаёт формулы y = ax² + bx + c; команды быстро вычисляют x₀, затем y₀ и отмечают вершину на плоскости. Побеждает самая быстрая команда с верным ответом.
Упражнения
1
Укажите вершину параболы y = 2(x − 3)² + 1.
(3, 1)
2
Найдите координаты вершины параболы y = x² − 6x + 5.
(3, −4)
3
Запишите уравнение оси симметрии параболы y = −x² + 8x − 3.
x = 4
4
Почему функция принимает наибольшее или наименьшее значение при x₀ = −b : (2a)?
В y = a(x − x₀)² + y₀ имеем (x − x₀)² ≥ 0, причём равенство нулю только при x = x₀, поэтому y₀ — экстремальное значение.