Неравенства и уравнения со степенями
Возрастание степенных функций используется в неравенствах. При нечётном n функция y = xⁿ возрастает на всей числовой прямой, поэтому из xⁿ > a следует x > ⁿ√a. При чётном n значения y = xⁿ зависят от |x|: из x⁴ < 16 следует |x| < 2, то есть −2 < x < 2. Уравнение с неизвестным под знаком корня называется иррациональным уравнением. Чтобы его решить, возводим обе части в квадрат, решаем новое уравнение и всегда делаем проверку: возведение в квадрат может дать посторонние корни, не удовлетворяющие исходному уравнению. Так как арифметический корень неотрицателен, уравнение √f = (отрицательное число) корней не имеет. В неравенстве с корнем сначала находим значения x, при которых корень имеет смысл (область определения), а затем возводим обе части в квадрат.
«Охотники за посторонними корнями»: команды возводят иррациональное уравнение в квадрат и находят корни, затем подставляют каждый корень в исходное уравнение и объявляют его «подходит» или «посторонний». Один балл за каждую верную проверку.