☰ Содержание · Алгебра

Чётные и нечётные функции

Уроки 12 · 1 урок · Ш. А. Алимов, А. Р. Халмухамедов, М. А. Мирзахмедов. Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных школ. Переработанное 4-е издание. Ташкент: «O‘qituvchi», 2019
12

Чётные и нечётные функции

Учебник: с. 46–50
ЦельЗнать определения чётной и нечётной функций, определять, чётна или нечётна функция, и использовать симметрию графика.
Новые слова
чётная функция · juft funksiyaнечётная функция · toq funksiyaсимметрия относительно начала координат · koordinatalar boshiga nisbatan simmetriyaсимметричность области определения · aniqlanish sohasining simmetrikligi
Объяснение

Если y(−x) = y(x) для каждого x из области определения, функция чётная; её график симметричен относительно оси Oy (например, y = x², y = |x|, y = x⁴). Если y(−x) = −y(x) для каждого x, функция нечётная; её график симметричен относительно начала координат (например, y = x³, y = 1 : x). Функция может быть ни чётной, ни нечётной, например y = 3x − 2. Область определения чётной или нечётной функции должна быть симметрична относительно 0: если x входит в неё, то и −x тоже. Поэтому y = √x ни чётная, ни нечётная. Для проверки вычисляем y(−x) и сравниваем с y(x) и −y(x). При построении графика рисуем часть при x ≥ 0 и затем отражаем её: для чётной функции — относительно оси Oy, для нечётной — относительно начала координат.

Примеры
y = x⁴ − 3x²: y(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² = x⁴ − 3x² = y(x), значит, функция чётная. y = x³ + x: y(−x) = −x³ − x = −y(x), значит, она нечётная. y = 3x − 2: y(1) = 1, y(−1) = −5; −5 ≠ 1 и −5 ≠ −1, значит, она ни чётная, ни нечётная.
График функции y = x³: при x ≥ 0 точки (0, 0), (1, 1), (2, 8). Так как функция нечётная, точки (−1, −1) и (−2, −8) тоже лежат на графике, они симметричны относительно начала координат.
Работа в классе

«Зеркало и поворот на полуоборот»: ученики отмечают на клетчатой бумаге несколько точек при x ≥ 0; партнёр переносит их на x < 0 по правилу «чётной» или «нечётной» функции, и оба проверяют по формуле.

Упражнения
1
Какие из функций y = x² + 5, y = 1 : x, y = x² + x чётные, нечётные или ни те ни другие?
2
Для нечётной функции y(2) = 7. Чему равно y(−2)?
3
Для чётной функции y(3) = 5. Чему равно y(−3)?
4
Почему функция y = √x ни чётная, ни нечётная?