22
Соотношения между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
Учебник: с. 112–116
ЦельЗнать основные соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла и использовать их для вычисления значений.
Новые слова
основное тригонометрическое тождество · asosiy trigonometrik ayniyatсвязь тангенса и котангенса · tangens va kotangensning bog‘lanishiзнак перед корнем · ildiz oldidagi ishoraуравнение единичной окружности · birlik aylana tenglamasi
Объяснение
Для точки M(cos α, sin α) единичной окружности имеем x² + y² = 1, поэтому sin²α + cos²α = 1 — основное тригонометрическое тождество, верное при любом α. Из него sin α = ±√(1 − cos²α) и cos α = ±√(1 − sin²α); знак перед корнем выбирают по знаку функции в той четверти, где лежит угол. Из определений tg α · ctg α = 1 (α ≠ πk/2), то есть ctg α = 1 : tg α. Деля основное тождество на cos²α, получаем 1 + tg²α = 1 : cos²α (cos α ≠ 0). С помощью этих формул по известному значению одной функции и четверти можно найти остальные.
Примеры
sin α = 5/13, π/2 < α < π. Во II четверти cos α < 0: cos α = −√(1 − 25/169) = −√(144/169) = −12/13. tg α = sin α : cos α = −5/12.
tg α = 2, π < α < 3π/2. 1 + tg²α = 5 = 1 : cos²α, поэтому cos²α = 1/5. В III четверти cos α < 0: cos α = −√5/5. sin α = tg α · cos α = −2√5/5.
Работа в классе
«Помощник-треугольник»: рисуется прямоугольный треугольник (3, 4, 5); ученики записывают sin, cos, tg как отношения сторон и проверяют, что sin²α + cos²α = 1, а затем меняют знаки для II четверти.
Упражнения
1
Если sin α = 3/5 и 0 < α < π/2, найдите cos α и tg α.
cos α = 4/5, tg α = 3/4
2
Если cos α = −5/13 и π/2 < α < π, найдите sin α.
12/13
3
Если tg α = 1/4, чему равен ctg α?
4
4
Почему sin²α + cos²α = 1?
Точка (cos α, sin α) лежит на единичной окружности, уравнение которой x² + y² = 1.