Darslar 17 · 1 ta dars · Sh.A. Alimov, A.R. Xalmuxamedov, M.A. Mirzaxmedov. Algebra: umumiy o‘rta ta’lim maktablarining 9-sinfi uchun darslik. Qayta ishlangan 4-nashri. Toshkent: «O‘qituvchi» NMIU, 2019
17
Sodda tengsizliklarni isbotlash
Darslik: 80–83-betlar
MaqsadSodda tengsizliklarni isbotlash usullarini (ayirma ishorasi, o‘rta arifmetik va o‘rta geometrik tengsizligi, teskarisini faraz qilish) qo‘llash.
Yangi so‘zlar
o‘rta arifmetik · arithmetic meano‘rta geometrik · geometric meanisbotlash · proofteskarisini faraz qilish · assuming the opposite (contradiction)
Tushuntirish
Tengsizlikni isbotlashning eng oddiy yo‘li — ta’rifdan foydalanish: A ≥ B ni isbotlash uchun A − B ≥ 0 ekanini ko‘rsatamiz, ko‘pincha to‘la kvadrat yordamida. Masalan, a² + b² − 2ab = (a − b)² ≥ 0, demak a² + b² ≥ 2ab. Ikkita musbat a va b sonning o‘rta arifmetigi (a + b) : 2, o‘rta geometrigi √(ab). Ular uchun (a + b) : 2 ≥ √(ab) tengsizligi o‘rinli, chunki ayirma (√a − √b)² : 2 ≥ 0; tenglik faqat a = b bo‘lganda. Bundan foydalanib, masalan, x > 0 uchun x + 1/x ≥ 2 ekanini va yig‘indisi o‘zgarmas bo‘lgan yoki ko‘paytmasi o‘zgarmas bo‘lgan ifodalarning eng kichik qiymatini topish mumkin. Yana bir usul — teskarisini faraz qilish: tengsizlik bajarilmasin deb faraz qilamiz va ziddiyatga kelamiz (masalan, kvadratning manfiy bo‘lishi), demak dastlabki tengsizlik to‘g‘ri.
Namunalar
a² + b² ≥ 2ab: a² + b² − 2ab = (a − b)² ≥ 0, tenglik faqat a = b da.
x > 0 uchun x + 4/x ≥ 4: x va 4/x musbat, ko‘paytmasi 4. (x + 4/x) : 2 ≥ √(x · 4/x) = 2, shuning uchun x + 4/x ≥ 4; tenglik x = 4/x, ya’ni x = 2 da. Eng kichik qiymat 4.
Sinfda faoliyat
«Isbot zanjiri»: sinf jamoalarga bo‘linadi; har bir jamoa a² + 9 ≥ 6a kabi tengsizlikni A − B ≥ 0 usulida isbotlaydi va tenglik qachon bo‘lishini aytadi. Yo‘l qo‘yilgan xatoni boshqa jamoa topadi.
Mashq
1
x² + 1 ≥ 2x tengsizlikni isbotlang.
x² + 1 − 2x = (x − 1)² ≥ 0.
2
x > 0 uchun x + 9/x ning eng kichik qiymatini toping.
6
3
a, b > 0 uchun a/b + b/a ≥ 2 ekanini isbotlang.
a/b va b/a musbat, ko‘paytmasi 1, shuning uchun o‘rta arifmetigi o‘rta geometrigidan kichik emas: (a/b + b/a) : 2 ≥ 1.
4
O‘rta arifmetik va o‘rta geometrik tengligi qachon o‘rinli bo‘ladi va nima uchun?
Faqat a = b da, chunki ayirma (√a − √b)² : 2 faqat √a = √b bo‘lganda nolga teng.