Доказательство простых неравенств
Ответы — для родителей и учителей.
1
Докажите, что a² + 4 ≥ 4a.
a² + 4 − 4a = (a − 2)² ≥ 0.
2
Найдите наименьшее значение выражения x + 16/x при x > 0.
8
3
Докажите, что (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4 при a, b > 0.
Раскрывая скобки, получаем 2 + a/b + b/a ≥ 2 + 2 = 4.
4
Вычислите среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел 2 и 8 и сравните их.
среднее арифметическое 5, среднее геометрическое 4; 5 ≥ 4
5
Докажите, что x + 9/x ≥ 6 (x > 0), от противного.
Если x + 9/x < 6, то после умножения на x > 0 получаем x² − 6x + 9 < 0, то есть (x − 3)² < 0, что невозможно.