☰ Mundarija · Algebra

Daraja qatnashgan tengsizlik va tenglamalar

Darslar 13 · 1 ta dars · Sh.A. Alimov, A.R. Xalmuxamedov, M.A. Mirzaxmedov. Algebra: umumiy o‘rta ta’lim maktablarining 9-sinfi uchun darslik. Qayta ishlangan 4-nashri. Toshkent: «O‘qituvchi» NMIU, 2019
13

Daraja qatnashgan tengsizlik va tenglamalar

Darslik: 51–55-betlar
MaqsadDarajali funksiyaning o‘sishidan foydalanib sodda darajali tengsizliklarni yechish; irratsional tenglama va tengsizliklarni yechishda chet ildizlarni tekshirish.
Yangi so‘zlar
irratsional tenglama · irrational equationchet ildiz · extraneous rootikkala qismini kvadratga ko‘tarish · squaring both sidesarifmetik ildiz · arithmetic root
Tushuntirish

Darajali funksiyalarning o‘sishidan tengsizliklarda foydalanamiz. Toq n da y = xⁿ butun son o‘qida o‘sadi, shuning uchun xⁿ > a tengsizlikdan x > ⁿ√a kelib chiqadi. Juft n da y = xⁿ ning qiymatlari |x| ga bog‘liq: x⁴ < 16 dan |x| < 2, ya’ni −2 < x < 2 chiqadi. Ildiz ostida noma’lum qatnashgan tenglama irratsional tenglama deyiladi. Uni yechish uchun ikkala qismini kvadratga ko‘taramiz, hosil bo‘lgan tenglamani yechamiz va albatta tekshiramiz: kvadratga ko‘targanda berilgan tenglamani qanoatlantirmaydigan chet ildizlar paydo bo‘lishi mumkin. Arifmetik ildiz manfiy bo‘lmagani uchun √f = (manfiy son) tenglama ildizga ega emas. Ildizli tengsizlikda avval ildiz ma’noga ega bo‘ladigan x lar (aniqlanish sohasi) topiladi, so‘ng ikkala qism kvadratga ko‘tariladi.

Namunalar
x³ > 64 dan x > 4 (kub funksiya o‘sadi). x⁴ ≤ 256 dan |x| ≤ 4, ya’ni −4 ≤ x ≤ 4.
√(x + 6) = x: kvadratga ko‘taramiz: x + 6 = x², x² − x − 6 = 0, x₁ = 3, x₂ = −2. Tekshirish: x = 3 da √9 = 3 — to‘g‘ri; x = −2 da √4 = 2 ≠ −2 — chet ildiz. Javob: x = 3.
Sinfda faoliyat

«Chet ildiz ovchilari»: jamoalar irratsional tenglamani kvadratga ko‘tarib ildizlarini topadi, so‘ng har bir ildizni asl tenglamaga qo‘yib «qoladi» yoki «chet» deb e’lon qiladi. Har to‘g‘ri tekshirish uchun bir ball.

Mashq
1
x⁵ ≥ 243 tengsizlikni yeching.
2
x⁴ > 256 tengsizlikni yeching.
3
√(3x − 2) = 4 tenglamani yeching.
4
Nima uchun √x + 4 = 0 tenglama ildizga ega emas?