☰ Mundarija · Algebra

Funksiyaning juftligi va toqligi

Darslar 12 · 1 ta dars · Sh.A. Alimov, A.R. Xalmuxamedov, M.A. Mirzaxmedov. Algebra: umumiy o‘rta ta’lim maktablarining 9-sinfi uchun darslik. Qayta ishlangan 4-nashri. Toshkent: «O‘qituvchi» NMIU, 2019
12

Funksiyaning juftligi va toqligi

Darslik: 46–50-betlar
MaqsadJuft va toq funksiyalar ta’rifini bilish, funksiyaning juft yoki toqligini aniqlash va grafigi simmetriyasidan foydalanish.
Yangi so‘zlar
juft funksiya · even functiontoq funksiya · odd functionkoordinatalar boshiga nisbatan simmetriya · symmetry about the originaniqlanish sohasining simmetrikligi · symmetry of the domain
Tushuntirish

Agar aniqlanish sohasidagi istalgan x uchun y(−x) = y(x) bo‘lsa, funksiya juft deyiladi; uning grafigi Oy o‘qiga nisbatan simmetrik (masalan, y = x², y = |x|, y = x⁴). Agar istalgan x uchun y(−x) = −y(x) bo‘lsa, funksiya toq deyiladi; grafigi koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik (masalan, y = x³, y = 1 : x). Funksiya juft ham, toq ham bo‘lmasligi mumkin, masalan y = 3x − 2. Juft yoki toq funksiyaning aniqlanish sohasi 0 ga nisbatan simmetrik bo‘lishi shart: x sohada bo‘lsa, −x ham sohada bo‘ladi. Shuning uchun y = √x juft ham, toq ham emas. Tekshirish uchun y(−x) ni hisoblab, y(x) va −y(x) bilan solishtiramiz. Grafikni yasashda x ≥ 0 uchun chizib, so‘ng juft funksiyani Oy ga, toq funksiyani koordinatalar boshiga nisbatan akslantiramiz.

Namunalar
y = x⁴ − 3x²: y(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² = x⁴ − 3x² = y(x) — juft. y = x³ + x: y(−x) = −x³ − x = −y(x) — toq. y = 3x − 2: y(1) = 1, y(−1) = −5; −5 ≠ 1 va −5 ≠ −1, demak ikkalasi ham emas.
y = x³ grafigi: x ≥ 0 uchun (0; 0), (1; 1), (2; 8) nuqtalar. Funksiya toq bo‘lgani uchun (−1; −1) va (−2; −8) nuqtalar ham grafikda yotadi — koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik.
Sinfda faoliyat

«Ko‘zgu va burilish»: o‘quvchilar katakli qog‘ozga x ≥ 0 uchun bir nechta nuqtani belgilaydi; juftlikdagi sherigi bu nuqtalarni «juft» yoki «toq» qoidasi bilan x < 0 ga ko‘chiradi, so‘ng ikkalasi ham formula bilan tekshiradi.

Mashq
1
y = x² + 5, y = 1 : x, y = x² + x funksiyalardan qaysilari juft, toq yoki ikkalasi ham emas?
2
Toq funksiyada y(2) = 7 bo‘lsa, y(−2) nechaga teng?
3
Juft funksiyada y(3) = 5 bo‘lsa, y(−3) nechaga teng?
4
Nima uchun y = √x juft ham, toq ham emas?