Darslar 11 · 1 ta dars · Sh.A. Alimov, A.R. Xalmuxamedov, M.A. Mirzaxmedov. Algebra: umumiy o‘rta ta’lim maktablarining 9-sinfi uchun darslik. Qayta ishlangan 4-nashri. Toshkent: «O‘qituvchi» NMIU, 2019
11
Funksiyaning o‘sishi va kamayishi
Darslik: 41–45-betlar
MaqsadDarajali funksiya y = xʳ ning o‘sishi va kamayishini bilish; o‘sish va kamayishni ta’rif bo‘yicha isbotlash.
Yangi so‘zlar
darajali funksiya · power functiono‘suvchi funksiya · increasing functionkamayuvchi funksiya · decreasing functiondaraja ko‘rsatkichi · exponent
Tushuntirish
y = xʳ ko‘rinishdagi funksiya darajali funksiya deyiladi (r — berilgan son). x > 0 da u istalgan r uchun aniqlangan. Agar biror oraliqdagi istalgan x₁ > x₂ uchun y(x₁) > y(x₂) bo‘lsa, funksiya shu oraliqda o‘suvchi, y(x₁) < y(x₂) bo‘lsa, kamayuvchi deyiladi. Muhim qoida: r > 0 bo‘lsa, y = xʳ funksiya x > 0 oraliqda o‘sadi; r < 0 bo‘lsa, x > 0 oraliqda kamayadi. Buni x₁ > x₂ > 0 tengsizlikni r-darajaga ko‘tarib isbotlash mumkin. Shu sababli xʳ = b (b > 0) tenglama x > 0 da yagona x = b^(1/r) ildizga ega. Boshqa funksiyalarning o‘sishini isbotlash uchun x₁ > x₂ ni olib, y(x₁) − y(x₂) ayirmaning ishorasini tekshiramiz.
Namunalar
7⁻² va 5⁻² ni taqqoslaymiz: r = −2 < 0, funksiya x > 0 da kamayadi, 7 > 5, demak 7⁻² < 5⁻². Tekshirish: 1/49 < 1/25.
x^(2/3) = 4 tenglamani yechamiz (x > 0). x = 4^(3/2) = (√4)³ = 8. Boshqa ildiz yo‘q, chunki r = 2/3 > 0 da funksiya o‘sadi, har bir qiymatni bir marta oladi. Tekshirish: 8^(2/3) = (∛8)² = 4.
Sinfda faoliyat
«O‘sadimi, kamayadimi?»: o‘qituvchi y = xʳ ko‘rinishidagi funksiyalarni aytadi (r = 3, −1, 1/2, −2/3...). O‘quvchilar qo‘llarini yuqoriga (o‘sadi) yoki pastga (kamayadi) qilib javob beradi va sababini ayta oladi.
Mashq
1
y = x⁻³, y = x^(1/3), y = x⁷ funksiyalar x > 0 da o‘sadimi yoki kamayadimi?
x⁻³ kamayadi; x^(1/3) va x⁷ o‘sadi
2
3^(2/5) va 4^(2/5) ni taqqoslang.
3^(2/5) < 4^(2/5), chunki r = 2/5 > 0
3
x^(3/2) = 27 tenglamani yeching (x > 0).
9
4
y = 2x − 1/x funksiya x > 0 da o‘sishini isbotlang.