При доказательстве от противного принимают условие теоремы и предполагают, что заключение неверно. Затем логическими шагами приходят к результату, противоречащему известной аксиоме или теореме. Противоречие показывает, что предположение было неверным, а значит, заключение верно. Важны три вещи: правильно записать утверждение, противоположное данному; делать верные выводы из предположения; прийти к результату, противоречащему известному свойству. Теорема: две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, не пересекаются. В доказательстве предполагают, что они пересекаются, что приводит к двум прямым, проходящим через две точки, а это противоречит аксиоме.
Примеры
Утверждение: две различные прямые не могут иметь двух общих точек. Предположим, что A и B — общие; тогда через A и B проходят две прямые, что противоречит аксиоме. Значит, утверждение верно.
Утверждение: у отрезка только одна середина. Предположим, что C ≠ D — середины. Тогда AC = AD = AB : 2, но на луче можно отложить только один отрезок данной длины, значит, C = D. Противоречие.
Работа в классе
«Найди противоречие»: в парах ученики предполагают противоположное простого утверждения и находят противоречие.
Упражнения
1
Что противоположно утверждению «у отрезка одна середина»?
У отрезка по меньшей мере две середины.
2
Что показывает противоречие в доказательстве от противного?
Предположение ложно, значит, утверждение, которое нужно доказать, истинно.
3
В доказательстве от противного у двух прямых оказались две общие точки. Сколько прямых проходит через две точки по аксиоме?
1
4
Почему «две прямые через две точки» — это противоречие?
По аксиоме через две точки проходит только одна прямая.