Построение перпендикуляров и треугольников

Задача 1. Перпендикуляр к прямой a в её точке O: окружность с центром в O пересекает a в точках A и B; окружности с центрами в A и B и радиусом AB пересекаются в точке C; прямая OC перпендикулярна a. Обоснование: в △AOC и △BOC AO = BO, AC = BC, а CO общая, поэтому по третьему признаку ∠AOC = ∠BOC; эти углы смежные и равные, поэтому каждый равен 90°. Задача 2. Перпендикуляр из точки O, не лежащей на a: окружность с центром в O, пересекающая a, даёт точки A и B; окружности того же радиуса с центрами в A и B пересекаются ещё и в точке O₁; OO₁ ⊥ a. Теорема: через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно один перпендикуляр к ней. Задача 3. Деление отрезка AB пополам: окружности радиуса AB с центрами в A и B пересекаются в точках C и C₁; точка, в которой прямая CC₁ пересекает AB, — середина AB.