57
Задачи на доказательство
Учебник: с. 148–149
ЦельУмей записывать задачи на доказательство в форме «дано», «доказать» и «обоснования».
Новые слова
задача на доказательство · isbotlashga doir masalaобоснование · asoslashбиссектриса · bissektrisaмедиана · mediana
Объяснение
Задача на доказательство похожа на маленькую теорему: нужно показать, что данное утверждение верно. Сначала запиши «Дано» и «Доказать» и выполни чертёж. Затем обоснуй каждый шаг определением, аксиомой или уже доказанной теоремой. Часто используются признаки равенства треугольников (первый, второй, третий) и делается вывод о равенстве соответственных элементов. Полезные приёмы: провести вспомогательную линию или обозначить углы буквами. В конце повтори, что было доказано. То, что на чертеже что-то выглядит верным, не является доказательством.
Примеры
Прямые AB и CD пересекаются в точке O, и OM — биссектриса ∠AOC. Докажи, что продолжение OM (луч ON) — биссектриса ∠BOD. ∠MOA = ∠MOC = α. ∠NOB и ∠MOA вертикальные, поэтому ∠NOB = α; ∠NOD и ∠MOC тоже вертикальные, поэтому ∠NOD = α. Следовательно, ON — биссектриса.
В равнобедренном треугольнике ABC с AB = AC точки M и N — середины AB и AC. Докажи, что BN = CM. △ABN и △ACM: AB = AC (дано), AN = AM (половины равных сторон), ∠A общий. По первому признаку △ABN = △ACM, значит, соответственные стороны равны: BN = CM.
Работа в классе
Поиграй с другом в «доказательство»: один записывает шаг, другой называет его обоснование (теорему или определение).
Упражнения
1
Один из двух вертикальных углов равен 84°. Сколько градусов в каждой части, образованной его биссектрисой?
42
2
В равнобедренном ABC (AB = AC) с точками M, N — серединами боковых сторон — какие треугольники сравнивают, чтобы доказать BN = CM?
△ABN и △ACM
3
AB = AC = 10 см, а M, N — середины боковых сторон. Сколько сантиметров составляет AM?
5
4
Зачем к каждому шагу доказательства записывают обоснование?
Потому что того, что на чертеже что-то выглядит верным, недостаточно; каждое утверждение должно опираться на определение или теорему.