☰ Содержание · Геометрия

Свойство биссектрисы. Стороны и углы

Уроки 43–44 · 2 урока · Геометрия, 7 класс, исправленное и дополненное 3-е издание. «Янгийўл Полиграф Сервис», Ташкент, 2017 (одобрено Министерством народного образования)
43

Свойство биссектрисы угла

Учебник: с. 110–111
ЦельЗнай и используй свойство биссектрисы угла.
Новые слова
биссектриса · bissektrisaрасстояние до сторон · tomonlargacha masofaперпендикуляр · perpendikulyarравноудалённый · teng uzoqlikda
Объяснение

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Теорема: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла. Доказательство: возьмём на биссектрисе OC угла точку D и опустим перпендикуляры DA и DB на стороны. Прямоугольные треугольники △OAD и △OBD имеют ∠AOD = ∠BOD (биссектриса) и общую гипотенузу OD. По признаку равенства по гипотенузе и острому углу △OAD = △OBD, значит, DA = DB. Это свойство используют для нахождения расстояний и равных отрезков.

Примеры
Если D лежит на биссектрисе ∠O и её расстояние до одной стороны равно 4 см, то расстояние до другой стороны тоже равно 4 см.
K лежит на биссектрисе ∠EOF = 40°, и KE ⊥ OE; тогда ∠EOK = 20° и ∠OKE = 90° − 20° = 70°.
Работа в классе

«Одинаковое расстояние»: сложи бумажный угол, чтобы найти биссектрису, отметь на ней точку и измерь угольником её расстояние до обеих сторон.

Упражнения
1
Точка K лежит на биссектрисе угла, и её расстояние до одной стороны равно 9 см. Чему равно расстояние до другой стороны (в см)?
2
OK — биссектриса ∠EOF = 50°, KE ⊥ OE. Найди ∠OKE (в градусах).
3
Точка на биссектрисе угла находится на расстояниях 5 см и x + 2 см от сторон. Найди x.
4
Почему в доказательстве используется признак по гипотенузе и острому углу?