☰ Содержание · Математика

Ортогональное проектирование и перпендикулярность на практике

Уроки 51–52 · 2 урока · М. А. Мирзаахмедов, Ш. Н. Исмаилов, А. К. Аманов (алгебра и начала анализа), Б. К. Хайдаров (геометрия). Математика, 10 класс, части 1 и 2, 1-е издание. EXTREMUM PRESS, Ташкент, 2017
52

Практика и применения: перпендикулярность

Учебник, часть 2: с. 140–143
ЦельПрименять знания о перпендикулярности к задачам (расстояния, углы, площади) и к практическим проверкам (вертикальность, прямые углы).
Новые слова
вертикальность · tiklikотвес · shoqulдиагональ параллелепипеда · fazoviy diagonalрасстояние · masofa
Объяснение

В задачах на перпендикулярность сначала по признаку определяют, что прямая перпендикулярна плоскости, затем находят прямоугольные треугольники и применяют теорему Пифагора. Для расстояний: от точки до плоскости — это перпендикуляр; от точки до прямой — гипотенуза прямоугольного треугольника, найденного с помощью теоремы о трёх перпендикулярах. Для углов: угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией, а угол между плоскостями — линейный угол. Практические проверки опираются на те же идеи: вертикальность столба проверяют отвесом с двух разных направлений, потому что столб — линия пересечения двух плоскостей, и обе плоскости содержат вертикальный отвес; угол комнаты проверяют треугольником 3-4-5: стороны 3, 4, 5 дают прямой угол; дверь остаётся перпендикулярной полу, потому что её ось (линия петель) перпендикулярна полу.

Примеры
В пирамиде SABCD ABCD — квадрат со стороной 6, SA ⊥ (ABCD) и SA = 6. Угол SB с основанием: проекция — AB, а SA = AB, поэтому угол равен 45°. BC ⊥ AB, а AB — проекция SB, поэтому BC ⊥ SB; треугольник SBC прямоугольный: SC = √(72 + 36) = 6√3.
Чтобы проверить, что столб перпендикулярен земле, сравниваем его с отвесом из двух точек: из каждой точки столб и нить видны в одной плоскости. Столб лежит на линии пересечения двух плоскостей, а отвес находится в каждой из этих плоскостей; значит, столб и отвес параллельны — столб вертикален.
Работа в классе

Попробуйте метод 3-4-5 на тетради или углу комнаты: отложите от угла 3 единицы вдоль одной стены и 4 вдоль другой; если расстояние между концами равно 5 единицам, угол прямой. (В комнате пользуйтесь рулеткой вместе со взрослым.)

Упражнения
1
Почему мы проверяем столб отвесом с двух направлений?
2
SA ⊥ (ABCD), ABCD — квадрат со стороной 6, SA = 6√3. Сколько градусов составляет угол между SB и основанием?
3
Какова длина самого длинного прямого стержня, помещающегося в коробку с размерами 1, 4, 8?
4
Почему открытая дверь остаётся плоскостью, перпендикулярной полу?