☰ Содержание · Математика

Параллельное проектирование и задачи на параллельность

Уроки 45–46 · 2 урока · М. А. Мирзаахмедов, Ш. Н. Исмаилов, А. К. Аманов (алгебра и начала анализа), Б. К. Хайдаров (геометрия). Математика, 10 класс, части 1 и 2, 1-е издание. EXTREMUM PRESS, Ташкент, 2017
46

Практика и применения: параллельность

Учебник, часть 2: с. 116–118
ЦельПрименять знания о параллельности прямых и плоскостей к задачам о тетраэдре, призме и пирамиде.
Новые слова
средняя линия · o‘rta chiziqпараллельное сечение · parallel kesimребро · qirraдоказать · isbotlash
Объяснение

Задачи на параллельность обычно решаются в три шага. Сначала делаем чертёж и отмечаем заданные точки и параллельные прямые. Затем находим знакомые свойства плоских фигур (треугольника, трапеции, параллелограмма), например среднюю линию или подобие: так, в треугольнике SAB отрезок KL, соединяющий середины SA и SB, параллелен AB и вдвое короче. Наконец, применяем признаки параллельности: если KL ∥ AB и AB лежит в плоскости ABC, то KL ∥ (ABC). Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, — многоугольник, подобный основанию: он лежит в плоскости, параллельной основанию, а его стороны параллельны соответствующим сторонам. Площадь сечения пропорциональна квадрату коэффициента подобия.

Примеры
SABC — тетраэдр, K, L, M — середины SA, SB, SC. KL ∥ AB и LM ∥ BC (средние линии). KL и LM пересекаются и параллельны двум прямым плоскости ABC, поэтому KLM ∥ ABC. Если AB = 14, то KL = 7.
В треугольной призме ABCA₁B₁C₁ CC₁ ∥ AA₁, причём AA₁ лежит в грани ABB₁A₁, а CC₁ — нет. По признаку CC₁ ∥ (ABB₁A₁): боковое ребро параллельно противоположной боковой грани.
Работа в классе

Покажите сечение пирамиды, параллельное основанию, на картонной модели (разрезая с помощью взрослого) или нарисуйте его и проверьте подобие с основанием, измерив отношение сторон.

Упражнения
1
В треугольнике SAB K и L — середины SA и SB. Как связаны KL и AB?
2
В SABC K и L — середины SA и SB, а AB = 18. Найдите KL.
3
Площадь основания пирамиды равна 36. Плоскость, параллельная основанию, делит высоту так, что расстояние от вершины составляет 1/3 её длины. Найдите площадь сечения.
4
Почему KL ∥ (ABC)?