☰ Содержание · Математика

Параметрические графики и показательная функция

Уроки 33–34 · 2 урока · М. А. Мирзаахмедов, Ш. Н. Исмаилов, А. К. Аманов (алгебра и начала анализа), Б. К. Хайдаров (геометрия). Математика, 10 класс, части 1 и 2, 1-е издание. EXTREMUM PRESS, Ташкент, 2017
34

Показательная функция и её график

Учебник, часть 2: с. 53–54
ЦельЗнать свойства степени с действительным показателем, формулировать свойства и график показательной функции и сравнивать степени.
Новые слова
показательная функция · ko‘rsatkichli funksiyaоснование · asosпоказатель степени · daraja ko‘rsatkichiвозрастающая/убывающая · o‘suvchi/kamayuvchi
Объяснение

При a > 0, a ≠ 1 функция f(x) = aˣ называется показательной. Для действительных показателей выполняются aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ, aˣ : aʸ = aˣ⁻ʸ, (aˣ)ʸ = aˣʸ и (ab)ˣ = aˣbˣ. Область определения — (−∞; +∞), множество значений — (0; +∞); a⁰ = 1, поэтому график проходит через (0; 1) и никогда не пересекает ось Ox. Если a > 1, функция возрастает: x₁ < x₂ ⇒ aˣ¹ < aˣ². Если 0 < a < 1, она убывает: x₁ < x₂ ⇒ aˣ¹ > aˣ². По этому свойству сравниваются степени с равными основаниями: при a > 1 большему показателю соответствует большая степень, при 0 < a < 1 — наоборот. Для равных показателей и разных оснований, если 0 < a < b, то aˣ < bˣ при x > 0 и aˣ > bˣ при x < 0.

Примеры
Сравним 2^√2 и 2^(7/5). Основание 2 > 1, поэтому функция возрастает; √2 ≈ 1,414 > 7/5 = 1,4, следовательно, 2^√2 > 2^(7/5).
(1/2)^(−3) = 2³ = 8; функция y = (1/2)ˣ убывает, её график проходит через (0; 1), при этом y = 8 при x = −3 и y = 1/8 при x = 3.
Работа в классе

Составьте таблицу для y = 2ˣ и y = (1/2)ˣ при x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Постройте оба графика в одной координатной плоскости и убедитесь, что они симметричны относительно оси Oy.

Упражнения
1
Укажите область определения и множество значений функции y = aˣ.
2
Что больше: 3^(−1/2) или 3^(−2/3)?
3
Найдите значение функции y = (1/2)ˣ при x = −3.
4
Почему основание показательной функции не может быть равно a = 1?