☰ Содержание · Математика

Функция, монотонность и экстремумы

Уроки 25–26 · 2 урока · М. А. Мирзаахмедов, Ш. Н. Исмаилов, А. К. Аманов (алгебра и начала анализа), Б. К. Хайдаров (геометрия). Математика, 10 класс, части 1 и 2, 1-е издание. EXTREMUM PRESS, Ташкент, 2017
26

Монотонность, наибольшее и наименьшее значения элементарных функций

Учебник, часть 2: с. 8–11
ЦельНаходить промежутки возрастания и убывания, локальные экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции по графику и по формуле.
Новые слова
возрастающая функция · o‘suvchi funksiyaубывающая функция · kamayuvchi funksiyaлокальный максимум · lokal maksimumнаибольшее значение · eng katta qiymat
Объяснение

Если для всех x₁ < x₂ из промежутка I выполняется f(x₁) < f(x₂), то f возрастает на I; если f(x₁) > f(x₂), она убывает. На графике при движении слева направо функция возрастает, когда ординаты растут, и убывает, когда они уменьшаются. На заданном промежутке наибольшее значение — самое большое из всех значений, а наименьшее — самое малое; они могут достигаться на концах промежутка или в точке поворота графика. Локальный максимум — точка, значение в которой больше значений вблизи неё (вершина); локальный минимум — значение меньше значений вблизи (впадина). Локальный максимум не обязательно является наибольшим значением, так как в другом месте функция может быть ещё больше. Линейная функция y = kx + b возрастает при k > 0 и убывает при k < 0.

Примеры
Функция y = −2x + 5 убывает на [1; 4] (k = −2 < 0). Значит, наибольшее значение y(1) = 3, а наименьшее y(4) = −3.
Задан график на [−3; 4], причём f(−3) = 2, f(0) = 6, f(2) = −1, f(4) = 3, а между этими точками проходит гладкая кривая. Функция возрастает на [−3; 0], убывает на [0; 2], возрастает на [2; 4]. x = 0 — локальный максимум (6), а x = 2 — локальный минимум (−1). Наибольшее значение равно 6, наименьшее равно −1.
Работа в классе

Запишите в таблицу температуру в течение дня (например, воздуха на улице, измеряя её термометром каждые два часа с помощью взрослого), постройте график и найдите промежутки возрастания и убывания.

Упражнения
1
Когда функция называется возрастающей?
2
Найдите наибольшее значение функции y = x² на [−3; 2].
3
Найдите наименьшее значение функции y = −2x + 5 на [1; 4].
4
Почему y = kx + b возрастает при k > 0?