33
Masalalar yechish
Darslik: 96–97-betlar
MaqsadUchburchak va parallelogramm bo‘yicha aralash masalalarni (diagonallar kvadratlari yig‘indisi, mediana, balandlik) trigonometrik teoremalar yordamida yechish.
Yangi so‘zlar
parallelogramm diagonallari · diagonals of a parallelogrammediana · medianbalandlik · heightyig‘indisi · sum
Tushuntirish
Parallelogramm diagonallari kvadratlarining yig‘indisi uning tomonlari kvadratlari yig‘indisining ikkilanganiga teng: d₁² + d₂² = 2(a² + b²). Isboti ikki qo‘shni uchburchakka kosinuslar teoremasini qo‘llash va cos(180° − α) = −cosα dan kelib chiqadi. Uchburchak yuzi Geron formulasi bilan topilsa, istalgan tomonga tushirilgan balandlik h = 2S/a. Mediana uzunligi m = ½√(2b² + 2c² − a²) formula bilan (a tomonga tushirilgan). Murakkab masalada avval yuz yoki yordamchi tomonni toping, so‘ng kerakli kattalikni hisoblang. Natijani joyiga qo‘yib tekshiring.
Namunalar
Parallelogramm tomonlari 5 va 7, bir diagonali 8: ikkinchisining kvadrati 2(25 + 49) − 64 = 84, d₂ = 2√21.
Tomonlari 7, 15, 20 bo‘lgan uchburchakda (S = 42, Geron formulasidan) 7 ga tushirilgan balandlik h = 2·42/7 = 12.
Sinfda faoliyat
«Formula tanlash»: kartochkadagi masala uchun qaysi formula (Geron, mediana, diagonallar, kosinuslar) mosligini tez aytib, keyin yechiladi.
Mashq
1
Tomonlari 6, 8, 10 bo‘lgan uchburchakda 10 ga tushirilgan mediana necha?
5
2
Parallelogramm tomonlari 3 va 4, diagonallari kvadratlari yig‘indisi necha?
50
3
Tomonlari 5, 5, 6 bo‘lgan uchburchakning asosga tushirilgan balandligi?
4
4
Nima uchun to‘g‘ri burchakli uchburchakda gipotenuzaga tushirilgan mediana uning yarmiga teng?
Mediana formulasi m = ½√(2a² + 2b² − c²) va c² = a² + b² bo‘lgani uchun m = c/2.