Aylanadagi proporsional kesmalar
Aylananing AB va CD vatarlari O nuqtada kesishsa, AO·OB = CO·OD bo‘ladi. Isbot: BAD va BCD burchaklar bitta yoyga tiraladi, shuning uchun teng; AOD va COB burchaklar vertikal, demak AOD va COB uchburchaklar ikki burchagi bo‘yicha o‘xshash, bundan OD : OB = AO : CO. Agar aylana tashqarisidagi P nuqtadan PA urinma (A — urinish nuqtasi) va aylanani B va C nuqtalarda kesuvchi o‘tkazilsa, PA² = PB·PC bo‘ladi, chunki PAB va PCA uchburchaklar o‘xshash. Shunga o‘xshash, P nuqtadan ikki kesuvchi o‘tkazilsa, PA·PB = PC·PD. Bu tengliklar noma’lum kesmani proporsiyasiz, ko‘paytma orqali topishga imkon beradi. Xususan, markazdan d masofadagi ichki nuqta orqali o‘tgan vatar uchun (shu nuqtadan o‘tuvchi diametrga qo‘llab) AP·PB = (R − d)(R + d) = R² − d², tashqi nuqta uchun esa PA·PB = d² − R².
«Vatarlar ko‘paytmasi»: daftarga sirkul bilan aylana chizing (uchi o‘tkir, ehtiyot bo‘ling), kesishuvchi ikki vatar o‘tkazing va AO·OB bilan CO·OD ni o‘lchab solishtiring.