☰ Mundarija · Algebra

Cheksiz kamayuvchi progressiya

Darslar 34 · 1 ta dars · Sh.A. Alimov, A.R. Xalmuxamedov, M.A. Mirzaxmedov. Algebra: umumiy o‘rta ta’lim maktablarining 9-sinfi uchun darslik. Qayta ishlangan 4-nashri. Toshkent: «O‘qituvchi» NMIU, 2019
34

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya

Darslik: 171–176-betlar
MaqsadCheksiz kamayuvchi geometrik progressiyani aniqlash, uning yig‘indisini topish va davriy kasrni oddiy kasrga aylantirish.
Yangi so‘zlar
cheksiz kamayuvchi progressiya · infinite decreasing progressionlimit · limitcheksiz yig‘indi · infinite sumdavriy kasr · periodic decimal
Tushuntirish

Maxrajining moduli birdan kichik, ya’ni |q| < 1 bo‘lgan geometrik progressiya cheksiz kamayuvchi deyiladi; uning hadlari n ortishi bilan nolga yaqinlashadi. Agar n cheksiz o‘ssa, q^n nolga intiladi, buni lim q^n = 0 (n → ∞) deb yozamiz. Shuning uchun S_n = b₁ : (1 − q) − b₁q^n : (1 − q) yig‘indida ikkinchi qo‘shiluvchi nolga intiladi, birinchisi esa n ga bog‘liq emas. Cheksiz kamayuvchi progressiya yig‘indisi deb S_n ning n → ∞ dagi limitiga aytiladi va S = b₁ : (1 − q) formula bilan topiladi. Bu formula faqat |q| < 1 bo‘lganda to‘g‘ri. Uni davriy kasrni oddiy kasrga aylantirishda ham qo‘llaymiz: 0,(7) = 7/10 + 7/100 + ... .

Namunalar
8 + 4 + 2 + ...: b₁ = 8, q = 1/2, |q| < 1. S = 8 : (1 − 1/2) = 8 : 1/2 = 16.
0,(7) = 7/10 + 7/100 + 7/1000 + ...: b₁ = 7/10, q = 1/10. S = (7/10) : (9/10) = 7/9.
Sinfda faoliyat

«Qog‘ozni yarmlash»: kvadrat qog‘ozning yarmini, so‘ng qolganining yarmini bo‘yaymiz; bo‘yalgan yuzlarni 1/2, 1/4, 1/8 ... deb yozib, ularning yig‘indisi nimaga intilishini muhokama qilamiz.

Mashq
1
3, 1, 1/3, ... progressiya cheksiz kamayuvchimi?
2
18 + 6 + 2 + ... yig‘indisini toping.
3
0,(6) davriy kasrni oddiy kasr ko‘rinishida yozing.
4
Nima uchun 1 + 2 + 4 + ... uchun S = b₁ : (1 − q) formulasini qo‘llab bo‘lmaydi?