☰ Mundarija · Algebra

Geometrik progressiya yig‘indisi

Darslar 33 · 1 ta dars · Sh.A. Alimov, A.R. Xalmuxamedov, M.A. Mirzaxmedov. Algebra: umumiy o‘rta ta’lim maktablarining 9-sinfi uchun darslik. Qayta ishlangan 4-nashri. Toshkent: «O‘qituvchi» NMIU, 2019
33

Geometrik progressiya dastlabki n ta hadining yig‘indisi

Darslik: 167–170-betlar
MaqsadGeometrik progressiya dastlabki n ta hadi yig‘indisi formulasini keltirib chiqarish va qo‘llash.
Yangi so‘zlar
hadlar yig‘indisi · sum of termsmaxraj q ≠ 1 · ratio q ≠ 1S_n formulasi · S_n formulaq = 1 holi · the case q = 1
Tushuntirish

Geometrik progressiyaning dastlabki n ta hadi yig‘indisini S_n bilan belgilaymiz: S_n = b₁ + b₁q + b₁q² + ... + b₁q^(n−1). Bu tenglikning ikki tomonini q ga ko‘paytirsak, qS_n = b₁q + b₁q² + ... + b₁q^n hosil bo‘ladi. Ikkinchisidan birinchisini ayirsak, deyarli barcha hadlar qisqaradi va qS_n − S_n = b₁q^n − b₁ qoladi. Bundan q ≠ 1 bo‘lganda S_n = b₁(1 − q^n) : (1 − q) = b₁(q^n − 1) : (q − 1) formulasi chiqadi. Agar q = 1 bo‘lsa, barcha hadlar b₁ ga teng, shuning uchun S_n = b₁ · n. Yig‘indini b_n ma’lum bo‘lganda S_n = (b_n · q − b₁) : (q − 1) ko‘rinishda ham yozish mumkin.

Namunalar
2 + 6 + 18 + 54 + 162: b₁ = 2, q = 3, n = 5. S₅ = 2 · (3⁵ − 1) : (3 − 1) = 2 · 242 : 2 = 242.
1 + 2 + 4 + ... yig‘indisi 255 bo‘lsin. b₁ = 1, q = 2: (2^n − 1) : (2 − 1) = 255, 2^n = 256 = 2⁸, n = 8.
Sinfda faoliyat

«Guruh yig‘indisi»: sinf uch guruhga bo‘linadi, har biri o‘z b₁, q, n bilan S_n ni hisoblaydi; so‘ng natijalar jadvalda tekshiriladi.

Mashq
1
b₁ = 4, q = 2, n = 6 bo‘lsa, S₆ ni toping.
2
q = 1 bo‘lganda S_n nimaga teng?
3
1 + 3 + 9 + 27 + 81 yig‘indisini toping.
4
Nima uchun q = 1 bo‘lganda S_n = b₁(q^n − 1) : (q − 1) formulasini qo‘llab bo‘lmaydi?