Arifmetik progressiya hadlari yig‘indisi

Arifmetik progressiyaning dastlabki n ta hadi yig‘indisi S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n. Uni topish uchun yig‘indini ikki marta yozamiz: hadlarni o‘sish tartibida va teskari tartibda, so‘ng hadlab qo‘shamiz. Progressiyada a₁ + a_n = a₂ + a_(n−1) = ..., chunki o‘ngga bir qadam yurilganda had d ga ortadi, chapga bir qadam yurilganda d ga kamayadi. Shuning uchun 2S_n = (a₁ + a_n) · n, ya’ni S_n = (a₁ + a_n) : 2 · n. a_n = a₁ + (n − 1)d ni qo‘ysak, S_n = (2a₁ + (n − 1)d) : 2 · n. Xususiy hol: 1 + 2 + ... + n = n(n + 1) : 2. Qo‘shiluvchilar soni n noma’lum bo‘lsa, a_n = a₁ + (n − 1)d dan topiladi. Agar n ni topish uchun kvadrat tenglama hosil bo‘lsa, natural ildiz tanlanadi.