☰ Mundarija · Algebra

Trigonometrik ayniyatlar

Darslar 23 · 1 ta dars · Sh.A. Alimov, A.R. Xalmuxamedov, M.A. Mirzaxmedov. Algebra: umumiy o‘rta ta’lim maktablarining 9-sinfi uchun darslik. Qayta ishlangan 4-nashri. Toshkent: «O‘qituvchi» NMIU, 2019
23

Trigonometrik ayniyatlar

Darslik: 117–119-betlar
MaqsadTrigonometrik ayniyatlarni isbotlash va ifodalarni soddalashtirish usullarini qo‘llash.
Yangi so‘zlar
ayniyat · identityayniyatni isbotlash · proving an identityjoiz qiymatlar · admissible valuessoddalashtirish · simplifying
Tushuntirish

Ayniyat — burchakning barcha joiz qiymatlarida, ya’ni ikkala qismi ma’noga ega bo‘ladigan barcha qiymatlarida to‘g‘ri bo‘ladigan tenglik. Ayniyatni isbotlashning asosiy yo‘llari: 1) chap qismini almashtirib o‘ng qismiga keltirish (yoki aksincha); 2) chap va o‘ng qismlar ayirmasi nolga tengligini ko‘rsatish; 3) ikkala qismini ham bir xil ifodaga keltirish. Almashtirishda quyidagilar ishlatiladi: sin²α + cos²α = 1; tg α = sin α : cos α; ctg α = cos α : sin α; 1 + tg²α = 1 : cos²α; 1 + ctg²α = 1 : sin²α. Foydali yo‘l — tg va ctg ni sin va cos orqali yozib, umumiy maxrajga keltirish. Ifodani soddalashtirishda ham xuddi shu formulalar qo‘llanadi, qisqa ko‘paytirish formulalari (a ± b)², a² − b² yordam beradi. Shart qo‘yilmagan bo‘lsa, joiz qiymatlarni izlab o‘tirmaymiz, lekin maxrajlar nolga teng bo‘lmasligini yodda tutamiz.

Namunalar
sin α cos α (tg α + ctg α) = 1: sin α cos α (sin α : cos α + cos α : sin α) = sin²α + cos²α = 1.
tg α + ctg α = 1 : (sin α cos α): tg α + ctg α = sin α : cos α + cos α : sin α = (sin²α + cos²α) : (sin α cos α) = 1 : (sin α cos α).
Sinfda faoliyat

«Ayniyat tuzatuvchi»: doskada ataylab xato bilan yozilgan isbot beriladi; juftliklar xatoni topib, to‘g‘ri yo‘l bilan qayta yozadi.

Mashq
1
(sin α + cos α)² − 2 sin α cos α ni soddalashtiring.
2
cos α · tg α = sin α ekanini isbotlang.
3
3 sin² 20° + 3 cos² 20° ni hisoblang.
4
1 + ctg²α = 1 : sin²α ayniyatda nima uchun sin α ≠ 0 bo‘lishi kerak?